Tentukan semua nilai 𝑥 real yang memenuhi 1 2𝑥+1 − 1 𝑥 < 1 !

Untuk menentukan semua nilai \( x \) real yang memenuhi persamaan 

\[
\frac{1}{2x+1} - \frac{1}{x} < 1,
\]

langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

### Langkah 1: Samakan Penyebut
Kita akan mencari penyebut yang sama untuk kedua pecahan.

\[
\frac{1}{2x+1} - \frac{1}{x} = \frac{x - (2x + 1)}{x(2x + 1)} = \frac{x - 2x - 1}{x(2x + 1)} = \frac{-x - 1}{x(2x + 1)}.
\]

### Langkah 2: Sederhanakan Pertidaksamaan
Sekarang kita substitusi bentuk ini ke dalam pertidaksamaan:

\[
\frac{-x - 1}{x(2x + 1)} < 1.
\]

Kalikan kedua sisi dengan \( x(2x + 1) \), namun kita harus memperhatikan tanda:

\[
-x - 1 < x(2x + 1).
\]

### Langkah 3: Susun dan Selesaikan Pertidaksamaan
Susun pertidaksamaan:

\[
-x - 1 < 2x^2 + x,
\]

\[
0 < 2x^2 + 2x + 1.
\]

### Langkah 4: Analisis Diskriminan
Sekarang kita lihat apakah persamaan kuadrat \( 2x^2 + 2x + 1 \) memiliki akar real atau tidak.

\[
\text{Diskriminan} = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(2)(1) = 4 - 8 = -4.
\]

Karena diskriminannya negatif, persamaan kuadrat ini tidak memiliki akar real, sehingga \( 2x^2 + 2x + 1 > 0 \) untuk semua \( x \).

### Kesimpulan
Karena pertidaksamaan ini benar untuk semua \( x \) real, maka nilai \( x \) yang memenuhi adalah seluruh bilangan real \( x \), kecuali \( x \) yang menyebabkan pembagian dengan nol yaitu \( x \neq 0 \) dan \( x \neq -\frac{1}{2} \).

**Jadi, solusi dari pertidaksamaan ini adalah:**

\[
x \in \mathbb{R}, \, x \neq 0, \, x \neq -\frac{1}{2}.
\]

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain? Berikut 5 pertanyaan terkait untuk memperdalam pemahaman:

1. Bagaimana cara menganalisis solusi dari diskriminan yang positif atau nol?
2. Bagaimana jika persamaan kuadrat memiliki akar real?
3. Apa pengaruh nilai negatif pada diskriminan dalam konteks pertidaksamaan?
4. Bagaimana cara memvisualisasikan solusi dari pertidaksamaan kuadrat pada grafik?
5. Bagaimana cara menyelesaikan pertidaksamaan yang lebih kompleks dengan eksponensial atau logaritma?

**Tip:** Dalam pertidaksamaan, hati-hati terhadap nilai-nilai yang menyebabkan pembagian dengan nol.

Learn how to solve the inequality 1/(2x+1) - 1/x < 1 for real numbers x with a detailed step-by-step solution. This problem covers inequalities involving fractions and quadratic equations, focusing on discriminant analysis. Suitable for high school students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation