Tentukan semua nilai 𝑥 real yang memenuhi
1
2𝑥+1
−
1
𝑥
< 1 !

Mari kita tentukan semua nilai \( x \) real yang memenuhi ketidaksamaan berikut:

\[
\frac{1}{2x+1} - \frac{1}{x} < 1
\]

### Langkah 1: Samakan penyebut
Kita mulai dengan menyamakan penyebut dari dua pecahan di sebelah kiri:

\[
\frac{1}{2x+1} - \frac{1}{x} = \frac{x - (2x+1)}{x(2x+1)} = \frac{x - 2x - 1}{x(2x+1)} = \frac{-x - 1}{x(2x+1)}
\]

Maka ketidaksamaannya menjadi:

\[
\frac{-x - 1}{x(2x+1)} < 1
\]

### Langkah 2: Pindahkan 1 ke sebelah kiri
Kita ubah ketidaksamaan di atas menjadi:

\[
\frac{-x - 1}{x(2x+1)} - 1 < 0
\]

Samakan penyebut lagi untuk bagian sebelah kiri:

\[
\frac{-x - 1 - x(2x+1)}{x(2x+1)} < 0
\]

Kembangkan dan sederhanakan pembilang:

\[
\frac{-x - 1 - 2x^2 - x}{x(2x+1)} = \frac{-2x^2 - 2x - 1}{x(2x+1)} < 0
\]

### Langkah 3: Tentukan tanda dari pecahan
Untuk ketidaksamaan pecahan, kita perlu menentukan kapan pembilang dan penyebut memiliki tanda yang berbeda.

Pembilang: \(-2x^2 - 2x - 1\) adalah parabola yang membuka ke bawah, sehingga ia negatif untuk semua \(x\).

Penyebut: \(x(2x+1)\) akan berubah tanda tergantung pada nilai \(x\). Ini akan negatif jika \(x < 0\) atau \(x > -\frac{1}{2}\), dan positif jika \(0 < x < -\frac{1}{2}\).

Untuk memenuhi ketidaksamaan \( \frac{-2x^2 - 2x - 1}{x(2x+1)} < 0 \), kita perlu penyebut positif, karena pembilang selalu negatif.

### Langkah 4: Himpunan penyelesaian
Jadi, \( x(2x+1) > 0 \) yang memberikan \( x < -\frac{1}{2} \) atau \( x > 0 \).

Namun, kita perlu mengecualikan \( x = 0 \) karena penyebut tidak didefinisikan di sana.

### Jawaban Akhir:
Himpunan solusi adalah \( x < -\frac{1}{2} \) atau \( x > 0 \).

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

**Soal-soal yang berkaitan:**

1. Temukan solusi dari \( \frac{2x+3}{x-1} > 2 \).
2. Berapa nilai \( x \) yang memenuhi \( \frac{x}{x+2} > 3 \)?
3. Tentukan himpunan solusi dari \( \frac{5}{2x-3} \leq 1 \).
4. Bagaimana cara menyelesaikan \( \frac{3}{x-1} - \frac{2}{x+2} < 0 \)?
5. Tentukan nilai \( x \) yang memenuhi \( \frac{4x+5}{x-2} > 0 \).

**Tip:** Saat menyelesaikan ketidaksamaan yang melibatkan pecahan, pastikan untuk memeriksa kapan penyebutnya menjadi nol, karena ini dapat mempengaruhi himpunan solusi.

Learn how to solve the rational inequality (1/(2x+1) - 1/x < 1) step-by-step. Understand the behavior of rational expressions and how to analyze inequalities involving them. Suitable for advanced high school students (Grades 10-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation