Pour résoudre l'inéquation suivante sur \( \mathbb{R} \):

\[
\frac{x-1}{x+1} < \frac{2}{x-1}
\]

Voici les étapes :

### 1. Trouver le domaine de définition
L'expression doit être définie. Pour cela, les dénominateurs doivent être non nuls :

- \( x + 1 \neq 0 \)  ⟹  \( x \neq -1 \)
- \( x - 1 \neq 0 \)  ⟹  \( x \neq 1 \)

Le domaine de définition est donc \( x \in \mathbb{R} \setminus \{-1, 1\} \).

### 2. Simplifier l'inéquation
Éliminons les fractions en multipliant les deux membres par \( (x+1)(x-1) \), en tenant compte des restrictions sur le signe de ces facteurs dans chaque intervalle défini par les valeurs critiques \( x = -1 \) et \( x = 1 \).

\[
\frac{x-1}{x+1} < \frac{2}{x-1}
\]

Après avoir multiplié par \( (x+1)(x-1) \) (sans changer le sens de l'inéquation tant que les facteurs sont positifs), on obtient :

\[
(x-1)^2 < 2(x+1)
\]

### 3. Résoudre l'équation obtenue
Développons les deux membres :

\[
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1
\]
\[
2(x+1) = 2x + 2
\]

L'inéquation devient :

\[
x^2 - 2x + 1 < 2x + 2
\]

### 4. Mettre sous forme standard
Mettons tous les termes du même côté :

\[
x^2 - 2x + 1 - 2x - 2 < 0
\]
\[
x^2 - 4x - 1 < 0
\]

### 5. Résoudre l'inéquation quadratique
Résolvons \( x^2 - 4x - 1 = 0 \) à l'aide du discriminant :

Le discriminant est :

\[
\Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 16 + 4 = 20
\]

Les racines sont donc :

\[
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{2 \times 1} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}
\]

Les solutions de l'inéquation quadratique sont donc comprises entre \( 2 - \sqrt{5} \) et \( 2 + \sqrt{5} \).

### 6. Conclusion
L'inéquation est donc satisfaite pour \( x \in ]2 - \sqrt{5}, 2 + \sqrt{5}[ \), tout en tenant compte des valeurs à exclure \( x = -1 \) et \( x = 1 \). Il faut s'assurer que ces valeurs ne sont pas dans cet intervalle.

Ainsi, la solution de l'inéquation sur \( \mathbb{R} \) est :

\[
x \in ]2 - \sqrt{5}, 1[ \cup ]1, 2 + \sqrt{5}[
\]

Souhaitez-vous plus de détails ou des précisions ?  
Voici 5 questions pour approfondir :

1. Comment calcule-t-on le discriminant d'une équation quadratique ?
2. Qu'est-ce qu'une inéquation rationnelle ?
3. Quelle est l'importance de déterminer le domaine de définition ?
4. Pourquoi les signes des facteurs influencent-ils l'inéquation ?
5. Comment vérifier graphiquement une inéquation ?

**Tip**: Toujours vérifier que les solutions respectent les contraintes du domaine de définition.

Learn how to solve the rational inequality (x-1)/(x+1) < 2/(x-1) on real numbers with step-by-step guidance. The solution involves key algebraic concepts, such as rational expressions, quadratic equations, and the discriminant formula. Suitable for students in Grades 10-12.

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