De opdracht in de laatste zin vraagt om algebraïsch de $x$-coördinaten te bepalen van de punten op de grafiek waarvan de raaklijn horizontaal loopt. Een horizontale raaklijn betekent dat de afgeleide van de functie $f(x)$ gelijk is aan 0.

De functie is: $f(x) = x^3 + 12x^2 - 5x.$

De afgeleide $f'(x)$ is: $f'(x) = 3x^2 + 24x - 5.$

Om de $x$-waarden te bepalen waarbij de raaklijn horizontaal is, lossen we $f'(x) = 0$ op: $3x^2 + 24x - 5 = 0.$

Deze vergelijking kunnen we oplossen met de ABC-formule: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},$ waarbij $a = 3$, $b = 24$, en $c = -5$.

Berekeningen:

1. $b^2 - 4ac = 24^2 - 4(3)(-5) = 576 + 60 = 636.$
2. $\sqrt{636} \approx 25.2.$
3. $x = \frac{-24 \pm 25.2}{6}.$

Oplossen: $x_1 = \frac{-24 + 25.2}{6} = \frac{1.2}{6} = 0.2,$ $x_2 = \frac{-24 - 25.2}{6} = \frac{-49.2}{6} = -8.2.$

De $x$-waarden zijn: $x = 0.2 \quad \text{en} \quad x = -8.2.$

Heb je nog vragen of wil je meer uitleg?

Vragen ter uitbreiding:

1. Wat betekenen de waarden $x = 0.2$ en $x = -8.2$ in de context van de grafiek?
2. Hoe bepaal je de bijbehorende $y$-waarden op de grafiek?
3. Waarom is de raaklijn horizontaal als $f'(x) = 0$?
4. Wat zijn de implicaties van negatieve discriminanten in kwadratische vergelijkingen?
5. Kun je de resultaten verifiëren door $f'(x)$ grafisch te analyseren?

Tip: Controleer altijd de discriminant voordat je een kwadratische vergelijking oplost om te zien of er reële oplossingen zijn.