Math Problem Statement

Знайти загальний розв’язок однорiдної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь 4x1-2х2-х3=0 2х1+2x2-х3-х4=0 2x2-3х3+3х4=0 10x1-14х2-9x3+14X4=0

Solution

Щоб знайти загальний розв'язок однорідної системи лінійних алгебраїчних рівнянь, спершу записуємо систему у вигляді матриці і зводимо її до ступінчастого вигляду методом Гаусса. Наша система виглядає так:

4x_1 - 2x_2 - x_3 = 0 \\ 2x_1 + 2x_2 - x_3 - x_4 = 0 \\ 2x_2 - 3x_3 + 3x_4 = 0 \\ 10x_1 - 14x_2 - 9x_3 + 14x_4 = 0 \\ \end{cases}$$ ### Крок 1: Запишемо цю систему у вигляді розширеної матриці: $$\begin{pmatrix} 4 & -2 & -1 & 0 & | & 0 \\ 2 & 2 & -1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 2 & -3 & 3 & | & 0 \\ 10 & -14 & -9 & 14 & | & 0 \\ \end{pmatrix}$$ ### Крок 2: Почнемо зведення матриці до трикутного вигляду. - Поділимо перший рядок на 4 для зручності: $$\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & 0 & | & 0 \\ 2 & 2 & -1 & -1 & | & 0 \\ 0 & 2 & -3 & 3 & | & 0 \\ 10 & -14 & -9 & 14 & | & 0 \\ \end{pmatrix}$$ - Віднімемо 2 перших рядки від другого і 10 перших рядків від четвертого, щоб занулити перший стовпець у рядках 2 і 4: $$\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & 0 & | & 0 \\ 0 & 3 & -\frac{1}{2} & -1 & | & 0 \\ 0 & 2 & -3 & 3 & | & 0 \\ 0 & -9 & -\frac{5}{2} & 14 & | & 0 \\ \end{pmatrix}$$ - Поділимо другий рядок на 3: $$\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & | & 0 \\ 0 & 2 & -3 & 3 & | & 0 \\ 0 & -9 & -\frac{5}{2} & 14 & | & 0 \\ \end{pmatrix}$$ - Віднімемо 2 других рядки від третього і додамо 9 других рядків до четвертого, щоб занулити другий стовпець у рядках 3 і 4: $$\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & | & 0 \\ 0 & 0 & -\frac{17}{3} & \frac{7}{3} & | & 0 \\ 0 & 0 & -8 & 11 & | & 0 \\ \end{pmatrix}$$ - Поділимо третій рядок на $$-\frac{17}{3}$$: $$\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{7}{17} & | & 0 \\ 0 & 0 & -8 & 11 & | & 0 \\ \end{pmatrix}$$ - Додамо 8 третіх рядків до четвертого: $$\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{7}{17} & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{33}{17} & | & 0 \\ \end{pmatrix}$$ - Поділимо четвертий рядок на $$\frac{33}{17}$$: $$\begin{pmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{4} & 0 & | & 0 \\ 0 & 1 & -\frac{1}{6} & -\frac{1}{3} & | & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -\frac{7}{17} & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & | & 0 \\ \end{pmatrix}$$ ### Крок 3: Зворотній хід Гаусса Тепер виконаємо зворотній хід для знаходження значень змінних: - Підставимо значення $$x_4 = 0$$ у третій рядок: $$x_3 = 0$$. - Підставимо $$x_3 = 0$$ і $$x_4 = 0$$ у другий рядок: $$x_2 = 0$$. - Підставимо $$x_2 = 0$$, $$x_3 = 0$$ і $$x_4 = 0$$ у перший рядок: $$x_1 = 0$$. ### Висновок: Загальний розв'язок цієї системи — тривіальний: $$x_1 = x_2 = x_3 = x_4 = 0$$ Чи потрібні деталі щодо окремих кроків? **Питання для роздумів:** 1. Як зміниться розв'язок, якщо змінити коефіцієнти в системі? 2. Чому тривіальний розв'язок можливий у випадку однорідної системи? 3. Як би виглядав процес, якби система була неоднорідною? 4. Чи можуть існувати нетривіальні розв'язки для інших однорідних систем? 5. Які інші методи розв'язування таких систем рівнянь існують? **Порада:** Якщо система рівнянь має більше рівнянь, ніж невідомих, це може призвести до надлишкових обмежень і відсутності нетривіальних розв'язків.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Homogeneous Systems
Gaussian Elimination

Formulas

Ax = 0 (homogeneous system of linear equations)
Gaussian elimination method

Theorems

Existence of trivial solution in homogeneous systems
Gaussian elimination process

Suitable Grade Level

University Level

Related Recommendation

Solve a Homogeneous Linear System and Find the Fundamental Solution

Solving Homogeneous Linear Systems with Gaussian Elimination

General Solution of a Homogeneous System of Linear Equations Using Gaussian Elimination

Gaussian Elimination for Homogeneous System of Linear Equations

Solving a Homogeneous System of Equations Using Row Reduction