Math Problem Statement
Знайти загальний розв’язок однорiдної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь 4x1-2х2-х3=0 2х1+2x2-х3-х4=0 2x2-3х3+3х4=0 10x1-14х2-9x3+14X4=0
Solution
Розглянемо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:
1) &\quad 4x_1 - 2x_2 - x_3 = 0 \\ 2) &\quad 2x_1 + 2x_2 - x_3 - x_4 = 0 \\ 3) &\quad 2x_2 - 3x_3 + 3x_4 = 0 \\ 4) &\quad 10x_1 - 14x_2 - 9x_3 + 14x_4 = 0 \end{aligned}$$ Щоб знайти загальний розв'язок системи, виконаємо такі дії: ### 1. Запишемо систему у матричній формі. Матрична форма системи виглядає так: $$\begin{pmatrix} 4 & -2 & -1 & 0 \\ 2 & 2 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & -3 & 3 \\ 10 & -14 & -9 & 14 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ ### 2. Застосуємо метод Гаусса для приведення матриці до трикутної форми. Почнемо з першого рівняння і поступово зведемо всі елементи під головними діагональними елементами до нуля. Потім, після приведення до трикутної форми, отримаємо ступеневий вигляд матриці і зможемо знайти розв'язок. ### 3. Розв'язок системи. Після приведення до ступеневої форми, знайдемо загальний розв'язок, висловлюючи змінні через параметри. Виконаю обчислення.Ранг матриці дорівнює 3, що означає, що система має одну вільну змінну. Для знаходження загального розв'язку ми висловимо змінні через параметр. Загальний розв'язок має наступну форму (з точністю до сталого множника): $$\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = \lambda \begin{pmatrix} 0.3295 \\ 0.2966 \\ 0.7249 \\ 0.5272 \end{pmatrix}$$ Тобто, загальний розв'язок системи має вигляд: $$x_1 = 0.3295\lambda, \quad x_2 = 0.2966\lambda, \quad x_3 = 0.7249\lambda, \quad x_4 = 0.5272\lambda$$ де $$\lambda$$ — довільний параметр. ### Чи бажаєте детальніше розібрати етапи або маєте запитання? Ось кілька запитань для розширення: 1. Як визначається ранг матриці? 2. Які методи існують для розв'язання систем лінійних рівнянь? 3. Що таке нульовий простір матриці і як він пов'язаний з однорідними системами? 4. Як використовується метод Гаусса для розв'язання системи? 5. Які властивості матриць впливають на кількість розв'язків систем? #### Порада: При роботі з однорідними системами важливо враховувати ранг матриці для визначення кількості вільних змінних та структури загального розв'язку.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Systems of Linear Equations
Matrix Operations
Gaussian Elimination
Formulas
Matrix form of system of equations: A * X = 0
Gaussian elimination process
Solution via parametric form
Theorems
Rank-Nullity Theorem
Gaussian Elimination
Suitable Grade Level
University Level (Undergraduate)
Related Recommendation
Solve a Homogeneous System of Linear Equations Using Gaussian Elimination
Solve Homogeneous Linear System Using Gaussian Elimination
Solve a Homogeneous Linear System and Find the Fundamental Solution
Solving a System of Linear Equations Using Gaussian Elimination
Solving Homogeneous Linear Systems with Gaussian Elimination