Знайти загальний розв’язок однорiдної системи
лiнiйних алгебраїчних рiвнянь 4x1-2х2-х3=0
2х1+2x2-х3-х4=0
2x2-3х3+3х4=0
10x1-14х2-9x3+14X4=0

Розглянемо однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

\[
\begin{aligned}
1) &\quad 4x_1 - 2x_2 - x_3 = 0 \\
2) &\quad 2x_1 + 2x_2 - x_3 - x_4 = 0 \\
3) &\quad 2x_2 - 3x_3 + 3x_4 = 0 \\
4) &\quad 10x_1 - 14x_2 - 9x_3 + 14x_4 = 0
\end{aligned}
\]

Щоб знайти загальний розв'язок системи, виконаємо такі дії:

### 1. Запишемо систему у матричній формі.
Матрична форма системи виглядає так:

\[
\begin{pmatrix}
4 & -2 & -1 & 0 \\
2 & 2 & -1 & -1 \\
0 & 2 & -3 & 3 \\
10 & -14 & -9 & 14
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
0 \\
0
\end{pmatrix}
\]

### 2. Застосуємо метод Гаусса для приведення матриці до трикутної форми.

Почнемо з першого рівняння і поступово зведемо всі елементи під головними діагональними елементами до нуля. Потім, після приведення до трикутної форми, отримаємо ступеневий вигляд матриці і зможемо знайти розв'язок.

### 3. Розв'язок системи.
Після приведення до ступеневої форми, знайдемо загальний розв'язок, висловлюючи змінні через параметри.

Виконаю обчислення.Ранг матриці дорівнює 3, що означає, що система має одну вільну змінну. Для знаходження загального розв'язку ми висловимо змінні через параметр. Загальний розв'язок має наступну форму (з точністю до сталого множника):

\[
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3 \\
x_4
\end{pmatrix}
=
\lambda
\begin{pmatrix}
0.3295 \\
0.2966 \\
0.7249 \\
0.5272
\end{pmatrix}
\]

Тобто, загальний розв'язок системи має вигляд:
\[
x_1 = 0.3295\lambda, \quad x_2 = 0.2966\lambda, \quad x_3 = 0.7249\lambda, \quad x_4 = 0.5272\lambda
\]
де \(\lambda\) — довільний параметр.

### Чи бажаєте детальніше розібрати етапи або маєте запитання?

Ось кілька запитань для розширення:

1. Як визначається ранг матриці?
2. Які методи існують для розв'язання систем лінійних рівнянь?
3. Що таке нульовий простір матриці і як він пов'язаний з однорідними системами?
4. Як використовується метод Гаусса для розв'язання системи?
5. Які властивості матриць впливають на кількість розв'язків систем?

#### Порада:
При роботі з однорідними системами важливо враховувати ранг матриці для визначення кількості вільних змінних та структури загального розв'язку.

Знайти загальний розв’язок однорiдної системи лiнiйних алгебраїчних рiвнянь:
4x1 - 2х2 - х3 = 0
2х1 + 2x2 - х3 - х4 = 0
2x2 - 3х3 + 3х4 = 0
10x1 - 14х2 - 9x3 + 14x4 = 0

Explore the step-by-step process to find the general solution of a homogeneous system of linear equations using Gaussian elimination. This problem involves linear algebra concepts, including matrix form, Gaussian elimination, and the rank-nullity theorem, suitable for undergraduate-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation