Per risolvere il problema, dobbiamo determinare l'angolo $\angle B$ in un triangolo inscritto in una semicirconferenza di diametro $AB = 4a$, dove l'area di un rettangolo di base $OH$ e altezza $AC$ è $4a^2$.

1. Dati del Problema:

• $AB$ è il diametro della semicirconferenza e ha lunghezza $4a$.
• $O$ è il centro della semicirconferenza e quindi $AO = OB = 2a$.
• $\angle B > \angle A$.
• $OH$ è la perpendicolare condotta da $O$ al diametro $AB$ che incontra il lato $AC$ in $H$.
• L'area del rettangolo $OH \times AC = 4a^2$.

2. Considerazioni Geometriche:

Poiché $\angle C = 90^\circ$ (in quanto $C$ è sulla semicirconferenza opposta al diametro $AB$), abbiamo un triangolo rettangolo in $C$ con $AB$ come ipotenusa.

3. Posizione del Punto $H$:

Essendo $OH$ perpendicolare ad $AB$, $H$ è il piede della perpendicolare da $O$ su $AC$. $OH$ è l'altezza relativa all'ipotenusa nel triangolo rettangolo $OAC$.

4. Calcolo dell'Area del Rettangolo:

L'area del rettangolo è data da: $\text{Area} = OH \times AC = 4a^2$

5. Relazione Trigonometrica:

Poiché $OH$ è la distanza dal centro $O$ alla corda $AC$, possiamo esprimere $OH$ come: $OH = OC \cdot \sin(\theta)$ dove $\theta = \angle AOC$. Nel triangolo rettangolo $OAC$, l'altezza $AC$ può essere espressa come: $AC = AB \cdot \sin(\beta)$ dove $\beta = \angle ABC$.

6. Sostituzione delle Misure:

Poiché $OC = OA = 2a$ e $AB = 4a$, l'area diventa: $4a^2 = (2a \cdot \sin(\theta)) \times (4a \cdot \sin(\beta))$ $4a^2 = 8a^2 \cdot \sin(\theta) \cdot \sin(\beta)$

7. Risoluzione per $\beta$:

$\sin(\theta) \cdot \sin(\beta) = \frac{1}{2}$ Dato che $\theta + \beta = 90^\circ$ (poiché $\triangle AOC$ è rettangolo in $C$), abbiamo: $\sin(\theta) = \cos(\beta)$ Quindi: $\cos(\beta) \cdot \sin(\beta) = \frac{1}{2}$ $\frac{1}{2} \sin(2\beta) = \frac{1}{2}$ $\sin(2\beta) = 1$ Quindi $2\beta = 90^\circ$, ossia $\beta = 45^\circ$.

Risposta:

L'angolo $\angle B$ deve essere $45^\circ$ affinché l'area del rettangolo sia $4a^2$.

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Consiglio:

Quando risolvi problemi geometrici con figure inscritte in cerchi o semicirconferenze, usa le proprietà degli angoli e dei segmenti legati alla circonferenza per semplificare i calcoli.