Phần 1: Chứng minh $AD \perp BC$

Đề bài: Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Đường tròn $(O)$ có đường kính $AB$ cắt $BC$ tại điểm $D$. Cần chứng minh rằng $AD \perp BC$.

Giải:

• Do tam giác $ABC$ vuông tại $A$, tức là $\angle ABC = 90^\circ$.
• Đường tròn $(O)$ có đường kính là $AB$, theo định lý đường tròn đường kính, điểm $D$ trên đường tròn này có tính chất:
  • Vì $AB$ là đường kính của đường tròn, thì $\angle ADB = 90^\circ$ (theo định lý góc vuông trong đường tròn).
• Ta đã có $\angle ADB = 90^\circ$, và vì $D$ thuộc đường thẳng $BC$, ta suy ra rằng $AD \perp BC$.

Kết luận: $AD \perp BC$.

Phần 2: Chứng minh tứ giác $AEDC$ nội tiếp

Đề bài: Kẻ $AE$ vuông góc với $OC$ tại điểm $E$. Cần chứng minh rằng tứ giác $AEDC$ nội tiếp.

Giải:

• Tứ giác $AEDC$ sẽ nội tiếp nếu và chỉ nếu tổng các góc đối diện của nó bằng $180^\circ$.
• Ta có:
  • $AE \perp OC$ theo giả thiết, tức là $\angle AEC = 90^\circ$.
  • Do $AD \perp BC$ từ phần trước, $\angle ADC = 90^\circ$.

Vậy $\angle AEC + \angle ADC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$, nghĩa là tứ giác $AEDC$ có tổng các góc đối diện bằng $180^\circ$, nên tứ giác $AEDC$ nội tiếp.

Kết luận: Tứ giác $AEDC$ nội tiếp.

---

Các câu hỏi mở rộng:

1. Tại sao định lý đường tròn đường kính lại có tác dụng trong việc chứng minh góc vuông tại điểm trên đường tròn?
2. Cách chứng minh một tứ giác là nội tiếp như thế nào trong trường hợp không có góc vuông?
3. Trong một tam giác vuông, đường tròn ngoại tiếp có những tính chất đặc biệt gì?
4. Các hệ quả của định lý $AD \perp BC$ có thể ứng dụng trong các bài toán hình học phẳng khác không?
5. Các bài toán liên quan đến góc vuông và đường tròn thường được giải quyết như thế nào trong hình học?

Mẹo:

Khi giải các bài toán hình học có liên quan đến đường tròn, hãy luôn nhớ rằng các tính chất như "góc vuông tại điểm trên đường tròn" và "góc nội tiếp" thường là những công cụ mạnh mẽ giúp chứng minh các kết luận quan trọng.