Para resolver este problema, seguimos los siguientes pasos:

Paso 1: Determinar el valor de $b$

Sabemos que la función es $f(x) = x - b$ y que $f(6) = -2$. Esto significa que cuando $x = 6$, el valor de la función es $-2$. Es decir:

$f(6) = 6 - b = -2$

Ahora despejamos $b$:

$6 - b = -2$

$b = 6 + 2 = 8$

Por lo tanto, $b = 8$.

Paso 2: Determinar el valor de $a$

En este caso, la función dada no contiene un parámetro $a$, así que deducimos que no es necesario calcular $a$ con la información proporcionada. Si en la ecuación $f(x) = (x - b)$ faltaba algún término con $a$, tal vez sea un error de escritura. Hasta ahora, tenemos que $f(x) = x - 8$.

Paso 3: Hallar la inversa de $f(x)$

La función inversa se obtiene al resolver $f(x) = y$ para $x$.

Sabemos que:

$y = f(x) = x - 8$

Ahora, despejamos $x$ en términos de $y$:

$y = x - 8$

$x = y + 8$

Por lo tanto, la función inversa es:

$f^{-1}(y) = y + 8$

Paso 4: Definir el dominio e imagen de la inversa

El dominio de $f(x) = x - 8$ es $(2, \infty)$, ya que está definido en el intervalo $(2, \infty)$. La función inversa intercambia dominio e imagen, por lo que el dominio de $f^{-1}(y)$ será el rango de $f(x)$.

Sabemos que $f(x) = x - 8$, y como $x \in (2, \infty)$, el rango de $f(x)$ será $(2 - 8, \infty - 8) = (-6, \infty)$. Por lo tanto:

• El dominio de la función inversa $f^{-1}(y)$ es $(-6, \infty)$.
• La imagen de la función inversa es $(2, \infty)$.

Resumen final:

1. $b = 8$
2. La función inversa es $f^{-1}(y) = y + 8$
3. El dominio de la inversa es $(-6, \infty)$
4. La imagen de la inversa es $(2, \infty)$

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna duda sobre los pasos?

Preguntas relacionadas:

1. ¿Qué ocurre si el dominio de $f(x)$ cambia?
2. ¿Cómo afecta la forma de la función al valor de $b$?
3. ¿Cómo se obtiene la inversa de funciones más complejas?
4. ¿Cuál es la relación entre el dominio y el rango de una función y su inversa?
5. ¿Qué pasa si el valor de $f(6)$ cambia en el problema?

Tip: Para encontrar la inversa de una función, intercambia las variables $x$ e $y$ y resuelve para $x$.