주어진 조건을 바탕으로 문제를 풀어 보겠습니다.

1. 함수 $f(x) = ax^2 + bx + c$와 $g(x) = x + 1$이 각각 $x = 1$과 $x = 3$에서 만난다고 합니다. 즉, 이 두 함수가 $x = 1$과 $x = 3$에서 같은 값을 갖는다는 의미입니다. 이를 수학적으로 표현하면:

$f(1) = g(1)$ $f(3) = g(3)$

2. 먼저, $g(x) = x + 1$이므로, 주어진 조건을 통해 다음과 같은 식들을 얻을 수 있습니다:

$g(1) = 1 + 1 = 2$ $g(3) = 3 + 1 = 4$

따라서:

$f(1) = 2 \quad \text{(1)}$ $f(3) = 4 \quad \text{(2)}$

3. 이제 함수 $f(x) = ax^2 + bx + c$에 $x = 1$과 $x = 3$을 대입하여 두 방정식을 만들어 봅시다.

(1)에서 $f(1) = 2$이므로:

$a(1)^2 + b(1) + c = 2 \quad \Rightarrow \quad a + b + c = 2$

(2)에서 $f(3) = 4$이므로:

$a(3)^2 + b(3) + c = 4 \quad \Rightarrow \quad 9a + 3b + c = 4$

따라서 우리는 두 방정식을 얻었습니다:

$a + b + c = 2 \quad \text{(3)}$ $9a + 3b + c = 4 \quad \text{(4)}$

4. 두 방정식(3)과 (4)을 연립하여 풀어 보겠습니다. (3)에서 (c)를 구하고 (4)에 대입하면:

$c = 2 - a - b \quad \text{(5)}$

(5)를 (4)에 대입하여:

$9a + 3b + (2 - a - b) = 4$

이 식을 풀면:

$9a + 3b + 2 - a - b = 4$ $8a + 2b = 2$ $4a + b = 1 \quad \text{(6)}$

5. 이제 $4a + b = 1$을 이용해 $b = 1 - 4a$로 나타낼 수 있습니다. 이를 (3)에 대입하면:

$a + (1 - 4a) + c = 2$ $a + 1 - 4a + c = 2$ $-3a + c = 1 \quad \text{(7)}$

6. (7)에서 $c = 3a + 1$로 나타낼 수 있습니다.

이제 $b = 1 - 4a$와 $c = 3a + 1$을 $f(x) = ax^2 + bx + c$에 대입하여 최종적으로 함수 $f(x)$를 구할 수 있습니다.

$f(x) = ax^2 + (1 - 4a)x + (3a + 1)$

7. 주어진 조건에 따라, 이 함수는 $f(x)$로 최종적으로 완성됩니다.