Tìm tất cả các hàm số f : R → R thoả mãn
 f(x2 +y2) = xf(x)+yf(y)∀x,y ∈ R

Ta cần tìm tất cả các hàm số \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) thỏa mãn phương trình sau:

\[
f(x^2 + y^2) = x f(x) + y f(y) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.
\]

**Bước 1: Xét trường hợp đặc biệt với \( y = 0 \)**

Thay \( y = 0 \) vào phương trình, ta có:

\[
f(x^2 + 0^2) = x f(x) + 0 f(0) \quad \Rightarrow \quad f(x^2) = x f(x).
\]

**Bước 2: Xét trường hợp đặc biệt với \( x = 0 \)**

Thay \( x = 0 \) vào phương trình, ta có:

\[
f(0^2 + y^2) = 0 f(0) + y f(y) \quad \Rightarrow \quad f(y^2) = y f(y).
\]

Từ hai phương trình trên, ta suy ra:

\[
f(x^2) = x f(x) \quad \text{và} \quad f(y^2) = y f(y).
\]

Vì \( x^2 = y^2 \) dẫn đến \( f(x^2) = f(y^2) \), suy ra:

\[
x f(x) = y f(y) \quad \text{khi} \quad x^2 = y^2.
\]

Cụ thể, nếu \( y = -x \), ta có:

\[
x f(x) = -x f(-x) \quad \Rightarrow \quad f(-x) = -f(x).
\]

Do đó, \( f(x) \) là hàm số lẻ.

**Bước 3: Thử dạng hàm số \( f(x) = cx \)**

Giả sử \( f(x) = cx \), thay vào phương trình ban đầu:

\[
f(x^2 + y^2) = c(x^2 + y^2),
\]

\[
x f(x) + y f(y) = cx^2 + cy^2.
\]

Như vậy, phương trình ban đầu được thỏa mãn nếu \( f(x) = cx \).

**Bước 4: Kết luận**

Tất cả các hàm số \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) thỏa mãn phương trình đã cho là các hàm số có dạng \( f(x) = cx \), trong đó \( c \) là một hằng số thực bất kỳ.

**Bạn có thắc mắc hoặc muốn biết chi tiết thêm không?**

**Câu hỏi mở rộng:**
1. Làm thế nào để chứng minh rằng hàm số \( f(x) = cx \) là nghiệm duy nhất của phương trình?
2. Hàm số lẻ có ảnh hưởng gì đến nghiệm của phương trình này?
3. Nếu ta thay \( f(x) = x^n \) vào phương trình, phương trình có còn đúng không?
4. Phương trình có nghiệm nào khác không nếu thay miền xác định của hàm số?
5. Hàm số \( f(x) = 0 \) có phải là nghiệm của phương trình không?

**Mẹo:** Khi giải phương trình hàm, thử với các giá trị cụ thể như \( x = 0 \) hoặc \( y = 0 \) có thể giúp đơn giản hóa bài toán và tìm ra những tính chất quan trọng của hàm số cần tìm.

Explore the solution to the functional equation f(x^2 + y^2) = xf(x) + yf(y) for all real numbers x and y. Understand how to find all functions f : R → R that satisfy this equation. Suitable for advanced high school students studying functional equations and linear functions.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation