Ta cần tìm tất cả các hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn phương trình sau:

$f(x^2 + y^2) = x f(x) + y f(y) \quad \forall x, y \in \mathbb{R}.$

Bước 1: Xét trường hợp đặc biệt với $y = 0$

Thay $y = 0$ vào phương trình, ta có:

$f(x^2 + 0^2) = x f(x) + 0 f(0) \quad \Rightarrow \quad f(x^2) = x f(x).$

Bước 2: Xét trường hợp đặc biệt với $x = 0$

Thay $x = 0$ vào phương trình, ta có:

$f(0^2 + y^2) = 0 f(0) + y f(y) \quad \Rightarrow \quad f(y^2) = y f(y).$

Từ hai phương trình trên, ta suy ra:

$f(x^2) = x f(x) \quad \text{và} \quad f(y^2) = y f(y).$

Vì $x^2 = y^2$ dẫn đến $f(x^2) = f(y^2)$, suy ra:

$x f(x) = y f(y) \quad \text{khi} \quad x^2 = y^2.$

Cụ thể, nếu $y = -x$, ta có:

$x f(x) = -x f(-x) \quad \Rightarrow \quad f(-x) = -f(x).$

Do đó, $f(x)$ là hàm số lẻ.

Bước 3: Thử dạng hàm số $f(x) = cx$

Giả sử $f(x) = cx$, thay vào phương trình ban đầu:

$f(x^2 + y^2) = c(x^2 + y^2),$

$x f(x) + y f(y) = cx^2 + cy^2.$

Như vậy, phương trình ban đầu được thỏa mãn nếu $f(x) = cx$.

Bước 4: Kết luận

Tất cả các hàm số $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa mãn phương trình đã cho là các hàm số có dạng $f(x) = cx$, trong đó $c$ là một hằng số thực bất kỳ.

Bạn có thắc mắc hoặc muốn biết chi tiết thêm không?

Câu hỏi mở rộng:

1. Làm thế nào để chứng minh rằng hàm số $f(x) = cx$ là nghiệm duy nhất của phương trình?
2. Hàm số lẻ có ảnh hưởng gì đến nghiệm của phương trình này?
3. Nếu ta thay $f(x) = x^n$ vào phương trình, phương trình có còn đúng không?
4. Phương trình có nghiệm nào khác không nếu thay miền xác định của hàm số?
5. Hàm số $f(x) = 0$ có phải là nghiệm của phương trình không?

Mẹo: Khi giải phương trình hàm, thử với các giá trị cụ thể như $x = 0$ hoặc $y = 0$ có thể giúp đơn giản hóa bài toán và tìm ra những tính chất quan trọng của hàm số cần tìm.