Для решения данных уравнений необходимо уравнять степени оснований. Рассмотрим каждое уравнение по очереди.

1. $(\frac{1}{5})^{x - 8} = \frac{1}{25}$

Запишем $\frac{1}{25}$ как $(\frac{1}{5})^2$:

$(\frac{1}{5})^{x - 8} = (\frac{1}{5})^2$

Так как основания одинаковые, приравняем степени:

$x - 8 = 2$

Решим уравнение:

$x = 10$

2. $(\frac{1}{2})^{4x - 16} = \frac{1}{16}$

Запишем $\frac{1}{16}$ как $(\frac{1}{2})^4$:

$(\frac{1}{2})^{4x - 16} = (\frac{1}{2})^4$

Приравняем степени:

$4x - 16 = 4$

Решим уравнение:

$4x = 20 \implies x = 5$

3. $(\frac{1}{4})^{4x - 13} = \frac{1}{64}$

Запишем $\frac{1}{64}$ как $(\frac{1}{4})^3$:

$(\frac{1}{4})^{4x - 13} = (\frac{1}{4})^3$

Приравняем степени:

$4x - 13 = 3$

Решим уравнение:

$4x = 16 \implies x = 4$

4. $(\frac{1}{3})^{2x - 5} = (\frac{1}{27})^{x + 7}$

Запишем $\frac{1}{27}$ как $(\frac{1}{3})^3$:

$(\frac{1}{3})^{2x - 5} = (\frac{1}{3})^{3(x + 7)}$

Приравняем степени:

$2x - 5 = 3(x + 7)$

Решим уравнение:

$2x - 5 = 3x + 21 \implies -5 - 21 = x \implies x = -26$

5. $(\frac{1}{4})^{x + 9} = \frac{1}{64}$

Запишем $\frac{1}{64}$ как $(\frac{1}{4})^3$:

$(\frac{1}{4})^{x + 9} = (\frac{1}{4})^3$

Приравняем степени:

$x + 9 = 3$

Решим уравнение:

$x = -6$

6. $(\frac{1}{7})^{5x - 8} = \frac{1}{49}$

Запишем $\frac{1}{49}$ как $(\frac{1}{7})^2$:

$(\frac{1}{7})^{5x - 8} = (\frac{1}{7})^2$

Приравняем степени:

$5x - 8 = 2$

Решим уравнение:

$5x = 10 \implies x = 2$

7. $(\frac{1}{3})^{2x - 19} = \frac{1}{27}$

Запишем $\frac{1}{27}$ как $(\frac{1}{3})^3$:

$(\frac{1}{3})^{2x - 19} = (\frac{1}{3})^3$

Приравняем степени:

$2x - 19 = 3$

Решим уравнение:

$2x = 22 \implies x = 11$

8. $(\frac{1}{2})^{3 - 5x} = (\frac{1}{16})^{1 - x}$

Запишем $\frac{1}{16}$ как $(\frac{1}{2})^4$:

$(\frac{1}{2})^{3 - 5x} = (\frac{1}{2})^{4(1 - x)}$

Приравняем степени:

$3 - 5x = 4(1 - x)$

Решим уравнение:

$3 - 5x = 4 - 4x \implies 3 - 4 = x \implies x = -1$

Ответы:

1. $x = 10$
2. $x = 5$
3. $x = 4$
4. $x = -26$
5. $x = -6$
6. $x = 2$
7. $x = 11$
8. $x = -1$

Есть ли у вас вопросы или нужны подробные объяснения?

Дополнительные вопросы:

1. Какое свойство используется при приравнивании степеней?
2. Как преобразовать базисные числа при решении уравнений с основаниями, отличными от 1?
3. В каких случаях следует использовать логарифмы для решения показательных уравнений?
4. Как влияет отрицательное основание на решение показательных уравнений?
5. Что делать, если основания в уравнении невозможно представить в одинаковом виде?
6. Какие методы еще можно использовать для решения показательных уравнений?
7. Как решать уравнения, если в них присутствуют разные основания?
8. Какие уравнения можно считать показателями и как их распознавать?

Совет:

При решении показательных уравнений всегда проверяйте свои промежуточные вычисления, чтобы избежать ошибок в конечном результате.