Задание 12. Найдите корень уравнения:
1) (1/5) ^ (x - 8) = 1/25
) (1/2) ^ (4x - 16) = 1/16
5) (1/4) ^ (4x - 13) = 1/64
) (1/3) ^ (2x - 5) = (1/27) ^ (x + 7)
2) (1/4) ^ (x + 9) = 1/64
) (1/7) ^ (5x - 8) = 1/49
) (1/3) ^ (2x - 19) = 1/27
) (1/2) ^ (3 - 5x) = (1/16) ^ (1 - x)

Для решения данных уравнений необходимо уравнять степени оснований. Рассмотрим каждое уравнение по очереди.

1. \((\frac{1}{5})^{x - 8} = \frac{1}{25}\)

Запишем \( \frac{1}{25} \) как \( (\frac{1}{5})^2 \):

\[
(\frac{1}{5})^{x - 8} = (\frac{1}{5})^2
\]

Так как основания одинаковые, приравняем степени:

\[
x - 8 = 2
\]

Решим уравнение:

\[
x = 10
\]

2. \((\frac{1}{2})^{4x - 16} = \frac{1}{16}\)

Запишем \( \frac{1}{16} \) как \( (\frac{1}{2})^4 \):

\[
(\frac{1}{2})^{4x - 16} = (\frac{1}{2})^4
\]

Приравняем степени:

\[
4x - 16 = 4
\]

Решим уравнение:

\[
4x = 20 \implies x = 5
\]

3. \((\frac{1}{4})^{4x - 13} = \frac{1}{64}\)

Запишем \( \frac{1}{64} \) как \( (\frac{1}{4})^3 \):

\[
(\frac{1}{4})^{4x - 13} = (\frac{1}{4})^3
\]

Приравняем степени:

\[
4x - 13 = 3
\]

Решим уравнение:

\[
4x = 16 \implies x = 4
\]

4. \((\frac{1}{3})^{2x - 5} = (\frac{1}{27})^{x + 7}\)

Запишем \( \frac{1}{27} \) как \( (\frac{1}{3})^3 \):

\[
(\frac{1}{3})^{2x - 5} = (\frac{1}{3})^{3(x + 7)}
\]

Приравняем степени:

\[
2x - 5 = 3(x + 7)
\]

Решим уравнение:

\[
2x - 5 = 3x + 21 \implies -5 - 21 = x \implies x = -26
\]

5. \((\frac{1}{4})^{x + 9} = \frac{1}{64}\)

Запишем \( \frac{1}{64} \) как \( (\frac{1}{4})^3 \):

\[
(\frac{1}{4})^{x + 9} = (\frac{1}{4})^3
\]

Приравняем степени:

\[
x + 9 = 3
\]

Решим уравнение:

\[
x = -6
\]

6. \((\frac{1}{7})^{5x - 8} = \frac{1}{49}\)

Запишем \( \frac{1}{49} \) как \( (\frac{1}{7})^2 \):

\[
(\frac{1}{7})^{5x - 8} = (\frac{1}{7})^2
\]

Приравняем степени:

\[
5x - 8 = 2
\]

Решим уравнение:

\[
5x = 10 \implies x = 2
\]

7. \((\frac{1}{3})^{2x - 19} = \frac{1}{27}\)

Запишем \( \frac{1}{27} \) как \( (\frac{1}{3})^3 \):

\[
(\frac{1}{3})^{2x - 19} = (\frac{1}{3})^3
\]

Приравняем степени:

\[
2x - 19 = 3
\]

Решим уравнение:

\[
2x = 22 \implies x = 11
\]

8. \((\frac{1}{2})^{3 - 5x} = (\frac{1}{16})^{1 - x}\)

Запишем \( \frac{1}{16} \) как \( (\frac{1}{2})^4 \):

\[
(\frac{1}{2})^{3 - 5x} = (\frac{1}{2})^{4(1 - x)}
\]

Приравняем степени:

\[
3 - 5x = 4(1 - x)
\]

Решим уравнение:

\[
3 - 5x = 4 - 4x \implies 3 - 4 = x \implies x = -1
\]

Ответы:
1. \(x = 10\)
2. \(x = 5\)
3. \(x = 4\)
4. \(x = -26\)
5. \(x = -6\)
6. \(x = 2\)
7. \(x = 11\)
8. \(x = -1\)

Есть ли у вас вопросы или нужны подробные объяснения?

### Дополнительные вопросы:

1. Какое свойство используется при приравнивании степеней?
2. Как преобразовать базисные числа при решении уравнений с основаниями, отличными от 1?
3. В каких случаях следует использовать логарифмы для решения показательных уравнений?
4. Как влияет отрицательное основание на решение показательных уравнений?
5. Что делать, если основания в уравнении невозможно представить в одинаковом виде?
6. Какие методы еще можно использовать для решения показательных уравнений?
7. Как решать уравнения, если в них присутствуют разные основания?
8. Какие уравнения можно считать показателями и как их распознавать?

### Совет:
При решении показательных уравнений всегда проверяйте свои промежуточные вычисления, чтобы избежать ошибок в конечном результате.

Explore how to solve exponential equations with exponents step-by-step. This page provides detailed solutions to equations involving exponential functions and different bases. Suitable for high school students (Grades 10-12).

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation