لحل المعادلة:

$\left( \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)^x + \left( \sqrt{2 + \sqrt{3}} \right)^x = 4$

نبدأ بتبسيط التعبير:

نعلم أن:

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} \times \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})}$

وبتبسيط الحد الموجود داخل الجذر:

$(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 - 3 = 1$

إذن:

$\sqrt{2 - \sqrt{3}} \times \sqrt{2 + \sqrt{3}} = \sqrt{1} = 1$

لنفترض أن:

$a = \sqrt{2 - \sqrt{3}} \quad \text{و} \quad b = \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

لدينا:

$ab = 1$

إذن يمكننا إعادة كتابة المعادلة كالتالي:

$a^x + b^x = 4$

وبما أن $ab = 1$، فإن $b = \frac{1}{a}$.

إذن المعادلة تصبح:

$a^x + \left( \frac{1}{a} \right)^x = 4$

لنفترض أن $a^x = t$، وبالتالي:

$\left( \frac{1}{a} \right)^x = \frac{1}{t}$

تصبح المعادلة:

$t + \frac{1}{t} = 4$

لحل هذه المعادلة، نضرب الطرفين في $t$:

$t^2 + 1 = 4t$

بنقل جميع الحدود إلى جهة واحدة:

$t^2 - 4t + 1 = 0$

نستخدم صيغة حل المعادلة التربيعية:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

حيث $a = 1$، $b = -4$، و $c = 1$:

$t = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

إذن لدينا حلان:

$t = 2 + \sqrt{3} \quad \text{أو} \quad t = 2 - \sqrt{3}$

نعود إلى المتغير $t$:

$a^x = 2 + \sqrt{3} \quad \text{أو} \quad a^x = 2 - \sqrt{3}$

لكن نعلم أن:

$a = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

$a^2 = 2 - \sqrt{3}$

فإذا كان:

$a^x = 2 + \sqrt{3}$

هذا غير ممكن لأن $2 + \sqrt{3}$ أكبر من 1، ولا يمكن أن يكون جذر عدد أقل من 1 يساوي عدداً أكبر من 1 عند رفعه للأس. لذا نفترض:

$a^x = 2 - \sqrt{3}$

وإذا كان:

$a = \sqrt{2 + \sqrt{3}}$

$a^2 = 2 + \sqrt{3}$

فإذا كان:

$a^x = 2 - \sqrt{3}$

هذا ممكن. إذن:

$x = 2$

لذلك الحل هو:

$x = 2$

هل لديك أي أسئلة أو ترغب في المزيد من التفاصيل؟

إليك 5 أسئلة قد ترغب في طرحها:

1. كيف يمكنني التأكد من صحة حل هذه المعادلة؟
2. ما هي أهمية التعويض في تبسيط المعادلات؟
3. كيف يمكن تطبيق نفس الطريقة على معادلات مختلفة؟
4. ما هي الخطوات لحل المعادلات التربيعية بشكل عام؟
5. هل يمكن استخدام طرق أخرى لحل هذه المعادلة؟

نصيحة: عند حل المعادلات المعقدة، يمكن أن يكون التحليل إلى عوامل واستخدام التعويض أدوات قوية لتبسيط الحل.