Diketahui:

$4^x + 4^{-x} = 7$

Kita perlu menemukan nilai dari:

$8^x + 8^{-x}$

Pertama, kita substitusi $4^x = a$, jadi $4^{-x} = \frac{1}{a}$. Dari persamaan yang diberikan:

$a + \frac{1}{a} = 7$

Kita akan menyelesaikan persamaan ini untuk mencari nilai $a$ terlebih dahulu. Kalikan seluruh persamaan dengan $a$:

$a^2 + 1 = 7a$

$a^2 - 7a + 1 = 0$

Kita akan menggunakan rumus kuadrat untuk menyelesaikannya:

$a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Di mana $a = 1$, $b = -7$, dan $c = 1$:

$a = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4}}{2}$

$a = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2}$

$a = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$

Jadi, $a = 4^x = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$ atau $a = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$.

Sekarang, kita perlu mencari nilai dari $8^x + 8^{-x}$.

Karena $8^x = (2^3)^x = (2^x)^3$ dan $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$, maka jika kita misalkan $2^x = b$, maka $4^x = b^2$ dan kita tadi dapat dari $4^x = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$ atau $4^x = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$.

$b^2 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$ atau $b^2 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$.

Kemudian $8^x = b^3$.

Kita cari $8^x + 8^{-x}$:

Karena $b^2 + \frac{1}{b^2} = 7$, maka bisa kita gunakan:

$(b + \frac{1}{b})^2 = b^2 + 2 + \frac{1}{b^2}$

Maka,

$b + \frac{1}{b} = \sqrt{7 + 2}$

$b + \frac{1}{b} = \sqrt{9} = 3$

Sekarang kita tahu:

$(b^3 + \frac{1}{b^3}) = (b + \frac{1}{b})^3 - 3(b + \frac{1}{b})$

$(b^3 + \frac{1}{b^3}) = 3^3 - 3 \times 3$

$(b^3 + \frac{1}{b^3}) = 27 - 9$

$(b^3 + \frac{1}{b^3}) = 18$

Jadi:

$8^x + 8^{-x} = 18$