Carilah solusi umum persamaan diferensial eksak berikut : 𝑥𝑦′ + 𝑦 + 4 = 0

Untuk menyelesaikan persamaan diferensial eksak \( xy' + y + 4 = 0 \), kita perlu memeriksa apakah ini merupakan persamaan diferensial eksak atau tidak. Namun, sebelum itu, mari kita coba menuliskannya dalam bentuk diferensial total agar kita dapat memeriksa sifat eksaknya.

### Langkah-langkah:

1. Persamaan ini dapat ditulis ulang sebagai:
   \[
   xy' = -(y + 4)
   \]
   atau
   \[
   \frac{dy}{dx} = -\frac{y + 4}{x}
   \]
   Sekarang, ini adalah bentuk yang lebih familiar dari persamaan diferensial.

2. Kita akan memeriksa apakah persamaan ini eksak. Untuk itu, mari kita coba metode faktor pengintegralan.

   Dalam bentuk yang lebih umum, persamaan ini dapat ditulis:
   \[
   M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0
   \]
   Dengan:
   \[
   M(x, y) = y + 4 \quad \text{dan} \quad N(x, y) = x
   \]

   Persamaan ini eksak jika:
   \[
   \frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}
   \]

   Mari kita hitung turunan parsialnya:
   - \(\frac{\partial M}{\partial y} = 1\)
   - \(\frac{\partial N}{\partial x} = 1\)

   Karena \(\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}\), persamaan ini **eksak**.

3. Sekarang, kita dapat mencari solusi dari persamaan diferensial eksak ini. Persamaan eksak memiliki solusi umum dalam bentuk:
   \[
   \psi(x, y) = C
   \]
   di mana \(\psi(x, y)\) adalah fungsi potensial yang memenuhi:
   \[
   \frac{\partial \psi}{\partial x} = M(x, y) \quad \text{dan} \quad \frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x, y)
   \]

4. Mari kita cari \(\psi(x, y)\) dengan mengintegrasikan \(M(x, y)\) terhadap \(x\):
   \[
   \psi(x, y) = \int (y + 4) dx = x(y + 4) + g(y)
   \]
   di mana \(g(y)\) adalah fungsi yang bergantung pada \(y\).

5. Selanjutnya, kita turunkan \(\psi(x, y)\) terhadap \(y\) untuk menemukan \(g(y)\):
   \[
   \frac{\partial \psi}{\partial y} = x + g'(y)
   \]
   Karena \(\frac{\partial \psi}{\partial y} = N(x, y) = x\), kita mendapatkan:
   \[
   g'(y) = 0
   \]
   Jadi, \(g(y)\) adalah konstanta, katakanlah \(C\).

6. Akhirnya, solusi umumnya adalah:
   \[
   x(y + 4) = C
   \]
   atau dalam bentuk eksplisit:
   \[
   xy + 4x = C
   \]

### Kesimpulan:
Solusi umum dari persamaan diferensial eksak \( xy' + y + 4 = 0 \) adalah:
\[
xy + 4x = C
\]
di mana \(C\) adalah konstanta integrasi.

---

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Berikut 5 pertanyaan terkait yang dapat memperluas pemahaman:
1. Bagaimana cara memeriksa apakah sebuah persamaan diferensial adalah eksak?
2. Apa itu faktor pengintegralan dan kapan kita menggunakannya?
3. Apa yang terjadi jika persamaan diferensial tidak eksak?
4. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial dengan metode pemisahan variabel?
5. Apa hubungan antara persamaan diferensial eksak dan konservasi energi dalam fisika?

**Tip**: Memeriksa eksaknya persamaan diferensial adalah langkah penting karena membantu memastikan solusi yang lebih mudah dengan metode integrasi langsung.

Carilah solusi umum persamaan diferensial eksak berikut: 𝑥𝑦′ + 𝑦 + 4 = 0

Learn how to solve the exact differential equation xy' + y + 4 = 0 using partial derivatives and the exact condition theorem. This step-by-step guide covers core calculus concepts and methods of solving exact differential equations. Suitable for university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation