Antag att 1/x+1/(x+2)-1/(x-2)=(ax^2+bx+c)/(x(x+2)(x-2)) Beräkna då a, b och c

Vi har ekvationen

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-2} = \frac{ax^2 + bx + c}{x(x+2)(x-2)}.
\]

För att lösa för \(a\), \(b\), och \(c\) måste vi först skriva om vänsterledet (summan av bråken) med en gemensam nämnare, som är \(x(x+2)(x-2)\).

### Steg 1: Skriv om vänsterledet med en gemensam nämnare

Vi ska skriva om varje term:

\[
\frac{1}{x} = \frac{(x+2)(x-2)}{x(x+2)(x-2)},
\]
\[
\frac{1}{x+2} = \frac{x(x-2)}{x(x+2)(x-2)},
\]
\[
\frac{1}{x-2} = \frac{x(x+2)}{x(x+2)(x-2)}.
\]

Nu adderar och subtraherar vi dessa termer:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{x+2} - \frac{1}{x-2} = \frac{(x+2)(x-2) + x(x-2) - x(x+2)}{x(x+2)(x-2)}.
\]

### Steg 2: Förenkla täljaren

Utvidga och förenkla varje term i täljaren:

\[
(x+2)(x-2) = x^2 - 4,
\]
\[
x(x-2) = x^2 - 2x,
\]
\[
x(x+2) = x^2 + 2x.
\]

Sätt nu ihop dessa termer:

\[
(x^2 - 4) + (x^2 - 2x) - (x^2 + 2x) = x^2 - 4 + x^2 - 2x - x^2 - 2x.
\]

Förenkla:

\[
x^2 - 4 - 4x = x^2 - 4x - 4.
\]

### Steg 3: Jämför med högerledet

Nu har vi täljaren i vänsterledet som \(x^2 - 4x - 4\). Eftersom täljaren i högerledet är \(ax^2 + bx + c\), kan vi matcha koefficienterna:

\[
ax^2 + bx + c = x^2 - 4x - 4.
\]

Detta ger oss följande system av ekvationer:

\[
a = 1,
\]
\[
b = -4,
\]
\[
c = -4.
\]

### Slutsats
Så vi har att:

\[
a = 1, \quad b = -4, \quad c = -4.
\]

Vill du ha fler detaljer om hur jag löste detta, eller har du några frågor? Här är några följdfrågor som kan hjälpa dig att förstå bättre:

1. Hur kan vi kontrollera att värdena på \(a\), \(b\), och \(c\) är korrekta?
2. Vad är en gemensam nämnare och varför används den i algebra?
3. Hur påverkar distributiva lagen förenklingen av algebraiska uttryck?
4. Vilka metoder kan användas för att lösa ekvationer med flera bråk?
5. Vad är innebörden av att matcha koefficienter i algebraiska uttryck?

**Tips:** När du har ekvationer där täljaren eller nämnaren kan skrivas i faktoriserad form, är det ofta användbart att först utvidga uttrycken för att jämföra termer och matcha koefficienter.

Learn how to solve the equation 1/x + 1/(x+2) - 1/(x-2) = (ax^2 + bx + c)/(x(x+2)(x-2)). This problem involves algebraic manipulation of fractions and polynomial equations. Suitable for high school students studying algebra.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation