rezolva Z Z
D
(x+y) dx dy, unde D este interiorul triunghiului ABC cu A(−4, 2),
B(−2, 0) ¸si C(−2, 2).

Problema cere să rezolvăm integrala dublă \( \iint_D (x+y) \, dx \, dy \), unde \( D \) este interiorul triunghiului definit de punctele \( A(-4, 2) \), \( B(-2, 0) \) și \( C(-2, 2) \).

### Pasul 1: Stabilirea domeniului de integrare \( D \)
Punctele triunghiului \( A(-4, 2) \), \( B(-2, 0) \), \( C(-2, 2) \) ne oferă următoarele informații:

1. Laturile triunghiului se află între punctele:
   - \( A(-4, 2) \) și \( C(-2, 2) \) (segment pe linia orizontală \( y = 2 \))
   - \( A(-4, 2) \) și \( B(-2, 0) \) (segment înclinat)
   - \( B(-2, 0) \) și \( C(-2, 2) \) (segment pe linia verticală \( x = -2 \))

### Pasul 2: Ecuatiile laturilor
Laturile au următoarele ecuații:
1. **Segmentul vertical BC:** Este pe linia \( x = -2 \), între \( y = 0 \) și \( y = 2 \).
2. **Segmentul orizontal AC:** Este pe linia \( y = 2 \), între \( x = -4 \) și \( x = -2 \).
3. **Segmentul AB:** Se poate găsi panta și ecuația laturii dintre punctele \( A(-4, 2) \) și \( B(-2, 0) \).

Calculăm panta laturii \( AB \):
\[
m_{AB} = \frac{0 - 2}{-2 - (-4)} = \frac{-2}{2} = -1.
\]
Deci, ecuația laturii \( AB \) este \( y - 2 = -1(x + 4) \), ceea ce duce la:
\[
y = -x - 2.
\]

### Pasul 3: Determinarea limitelor de integrare
Domeniul de integrare poate fi descris astfel:
- \( x \) variază între \( -4 \) și \( -2 \).
- Pentru un anumit \( x \), \( y \) variază între dreapta \( y = -x - 2 \) și \( y = 2 \).

### Pasul 4: Formularea integralei
Acum putem scrie integrala dublă:
\[
\int_{x = -4}^{-2} \int_{y = -x - 2}^{2} (x + y) \, dy \, dx.
\]

### Pasul 5: Rezolvarea integralei interioare
Rezolvăm mai întâi integrala interioară față de \( y \):
\[
\int_{y = -x - 2}^{2} (x + y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{y = -x - 2}^{y = 2}.
\]
Calculăm limitele superioare și inferioare:
- Pentru \( y = 2 \):
  \[
  x(2) + \frac{2^2}{2} = 2x + 2.
  \]
- Pentru \( y = -x - 2 \):
  \[
  x(-x - 2) + \frac{(-x - 2)^2}{2} = -x^2 - 2x + \frac{x^2 + 4x + 4}{2} = -x^2 - 2x + \frac{x^2}{2} + 2x + 2.
  \]
Simplificăm rezultatul:
\[
- \frac{x^2}{2} + 2.
\]

Astfel, integrala interioară devine:
\[
\int_{y = -x - 2}^{2} (x + y) \, dy = 2x + 2 - \left(- \frac{x^2}{2} + 2 \right) = 2x + \frac{x^2}{2}.
\]

### Pasul 6: Rezolvarea integralei exterioare
Acum rezolvăm integrala exterioară față de \( x \):
\[
\int_{x = -4}^{-2} \left( 2x + \frac{x^2}{2} \right) \, dx.
\]
Separăm integrala în două părți:
\[
\int_{x = -4}^{-2} 2x \, dx + \int_{x = -4}^{-2} \frac{x^2}{2} \, dx.
\]

Rezolvăm fiecare integrală:
1. \( \int 2x \, dx = x^2 \), deci:
   \[
   \left[ x^2 \right]_{-4}^{-2} = (-2)^2 - (-4)^2 = 4 - 16 = -12.
   \]
2. \( \int \frac{x^2}{2} \, dx = \frac{x^3}{6} \), deci:
   \[
   \left[ \frac{x^3}{6} \right]_{-4}^{-2} = \frac{(-2)^3}{6} - \frac{(-4)^3}{6} = \frac{-8}{6} - \frac{-64}{6} = \frac{56}{6} = \frac{28}{3}.
   \]

### Pasul 7: Răspunsul final
Rezultatul integralei este:
\[
\boxed{\frac{4}{3}}.
\]

Ai întrebări sau dorești clarificări suplimentare?

### Întrebări conexe:
1. Cum se rezolvă o integrală dublă pe o regiune circulară?
2. Cum se determină domeniul de integrare pentru o regiune delimitată de mai multe curbe?
3. Cum se rezolvă o integrală triplă pe un domeniu tridimensional?
4. Cum se utilizează coordonatele polare pentru integrarea dublă?
5. Care sunt aplicațiile integralei duble în fizică?

### Sfat:
Întotdeauna desenează regiunea de integrare pentru a înțelege mai bine limitele și domeniul integralei duble.

Learn how to solve the double integral of (x+y) dx dy over the triangular region ABC defined by points A(-4, 2), B(-2, 0), and C(-2, 2). This problem covers double integral concepts in coordinate geometry. Suitable for university-level mathematics.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation