सवाल 10:

प्रश्न: मैसूर और बैंगलोर के बीच 132 किमी की यात्रा करने में एक एक्सप्रेस रेलगाड़ी सवारी गाड़ी से 1 घंटा कम समय लेती है। यदि एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल, सवारी गाड़ी की औसत चाल से 11 किमी/घंटा अधिक हो, तो दोनों रेलगाड़ियों की औसत चाल ज्ञात कीजिए।

समाधान:

मान लेते हैं कि सवारी गाड़ी की औसत चाल $x$ किमी/घंटा है। तो एक्सप्रेस रेलगाड़ी की औसत चाल $x + 11$ किमी/घंटा होगी।

सवारी गाड़ी का समय: $\text{समय } = \frac{132}{x} \text{ घंटे}$

एक्सप्रेस रेलगाड़ी का समय: $\text{समय } = \frac{132}{x + 11} \text{ घंटे}$

हमें दिया गया है कि एक्सप्रेस रेलगाड़ी 1 घंटा कम समय लेती है: $\frac{132}{x} - \frac{132}{x + 11} = 1$

अब इसे हल करते हैं: $\frac{132(x + 11) - 132x}{x(x + 11)} = 1$ $\frac{132x + 1452 - 132x}{x(x + 11)} = 1$ $\frac{1452}{x(x + 11)} = 1$ $1452 = x^2 + 11x$ $x^2 + 11x - 1452 = 0$

अब इस क्वाड्रेटिक समीकरण को हल करते हैं: $x = \frac{-11 \pm \sqrt{11^2 + 4 \times 1452}}{2}$ $x = \frac{-11 \pm \sqrt{121 + 5808}}{2}$ $x = \frac{-11 \pm \sqrt{5929}}{2}$ $x = \frac{-11 \pm 77}{2}$

इससे हमें $x = 33$ किमी/घंटा मिलता है (नकारात्मक चाल का कोई भौतिक अर्थ नहीं है)।

इस प्रकार, सवारी गाड़ी की चाल 33 किमी/घंटा और एक्सप्रेस गाड़ी की चाल $33 + 11 = 44$ किमी/घंटा है।

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सवाल 11:

प्रश्न: दो वर्गों के क्षेत्रफलों का योग 468 वर्ग मीटर है। यदि उनके परिमापों का अंतर 24 मीटर हो, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ ज्ञात कीजिए।

समाधान:

मान लेते हैं कि पहले वर्ग की भुजा $x$ मीटर है और दूसरे वर्ग की भुजा $y$ मीटर है।

हमें दिए गए हैं:

1. $x^2 + y^2 = 468$ ---- (i)
2. $4x - 4y = 24$ ---- (ii)

दूसरी समीकरण को सरल करते हैं: $x - y = 6 \quad ----(iii)$

अब $y = x - 6$ को (i) में रखते हैं: $x^2 + (x - 6)^2 = 468$ $x^2 + x^2 - 12x + 36 = 468$ $2x^2 - 12x - 432 = 0$ $x^2 - 6x - 216 = 0$

इसे हल करते हैं: $x = \frac{6 \pm \sqrt{6^2 + 4 \times 216}}{2}$ $x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 864}}{2}$ $x = \frac{6 \pm \sqrt{900}}{2}$ $x = \frac{6 \pm 30}{2}$

यहाँ से $x = 18$ मीटर (सकारात्मक भुजा) और $y = 12$ मीटर मिलता है।

इस प्रकार, पहले वर्ग की भुजा 18 मीटर और दूसरे वर्ग की भुजा 12 मीटर है।

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क्या आप इनमें से किसी सवाल का विस्तार चाहते हैं?

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सुझाव: समस्याओं को हल करने के बाद दिए गए उत्तर की पुष्टि करने के लिए इसे मूल समीकरण में अवश्य जांचें।