Vi ska lösa differentialekvationen

$y''(t) + 2y'(t) + 2y(t) = 0$

och hitta en lösning $y(t)$ som uppfyller villkoret

$\lim_{t \to 0} \frac{y(t)}{t} = 1.$

Vi undersöker också om det kan finnas flera sådana lösningar.

---

Steg 1: Karaktäristisk ekvation

Differentialekvationen är linjär och homogen, så vi antar att lösningen har formen $y(t) = e^{\lambda t}$. Insättning ger:

$\lambda^2 + 2\lambda + 2 = 0.$

Den karaktäristiska ekvationen är en andragradsekvation. Vi löser den:

$\lambda = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = -1 \pm i.$

Rötterna är $\lambda = -1 + i$ och $\lambda = -1 - i$.

---

Steg 2: Allmän lösning

För komplexa rötter av formen $\lambda = \alpha \pm i\beta$, är den allmänna lösningen:

$y(t) = e^{\alpha t} \left( C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta t) \right).$

Här är $\alpha = -1$ och $\beta = 1$, så:

$y(t) = e^{-t} \left( C_1 \cos(t) + C_2 \sin(t) \right).$

---

Steg 3: Villkoret $\lim_{t \to 0} \frac{y(t)}{t} = 1$

Vi måste nu använda villkoret för att bestämma konstanterna $C_1$ och $C_2$. När $t \to 0$, approximera $y(t)$:

$y(t) = e^{-t} \left( C_1 \cos(t) + C_2 \sin(t) \right).$

För små $t$, kan vi använda approximationerna: $e^{-t} \approx 1, \quad \cos(t) \approx 1, \quad \sin(t) \approx t.$

Därmed blir:

$y(t) \approx C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot t.$

Och:

$\frac{y(t)}{t} \approx \frac{C_1 + C_2 t}{t}.$

När $t \to 0$, måste $\frac{y(t)}{t} \to 1$. Detta innebär att:

$C_1 = 0 \quad \text{och} \quad C_2 = 1.$

---

Steg 4: Specifik lösning

Med $C_1 = 0$ och $C_2 = 1$, blir lösningen:

$y(t) = e^{-t} \sin(t).$

---

Steg 5: Finns det fler lösningar?

Differentialekvationen är linjär och homogen, vilket innebär att lösningarna är entydiga för givna initialvillkor. Villkoret $\lim_{t \to 0} \frac{y(t)}{t} = 1$ specificerar lösningen entydigt. Därför kan det inte finnas fler lösningar.

---

Slutsats

Den enda lösningen till differentialekvationen som uppfyller villkoret är:

$y(t) = e^{-t} \sin(t).$