La ecuación diferencial que aparece en la imagen es:

$\frac{1}{y^2}(1 + \ln xy) \, dx + \left(\frac{x}{y^3} - 3\right) \, dy = 0$

Para resolverla, podemos intentar convertirla en una ecuación exacta o explorar si es posible usar otro método adecuado como un factor integrante.

1. Comprobación de exactitud:

Una ecuación diferencial de la forma:

$M(x, y) \, dx + N(x, y) \, dy = 0$

es exacta si cumple la condición de exactitud:

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$

Identificamos $M(x, y)$ y $N(x, y)$:

• $M(x, y) = \frac{1}{y^2}(1 + \ln xy)$
• $N(x, y) = \frac{x}{y^3} - 3$

Calculamos las derivadas parciales:

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1}{y^2}(1 + \ln xy) \right)$

Usamos la regla del producto y derivadas logarítmicas:

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{1 + \ln xy}{y^2} \right) = \frac{1}{y^2} \cdot \frac{x}{xy} - 2 \cdot \frac{(1 + \ln xy)}{y^3}$

Esto resulta en:

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{x}{y^3} - \frac{2(1 + \ln xy)}{y^3}$

Ahora calculamos la derivada parcial de $N(x, y)$ con respecto a $x$:

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{x}{y^3} - 3 \right) = \frac{1}{y^3}$

Verificación de exactitud:

Claramente, las derivadas parciales no son iguales:

$\frac{\partial M}{\partial y} \neq \frac{\partial N}{\partial x}$

Por lo tanto, la ecuación no es exacta.

2. Uso de factor integrante:

Para hacer exacta esta ecuación, se puede buscar un factor integrante. Existen varias formas de encontrar uno, dependiendo de las propiedades de la ecuación.

Voy a buscar un factor integrante adecuado.