Resolveremos la integral:

$I = \int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 9}}$

usando una sustitución simple y directa. Consideraremos la sustitución trigonométrica más adecuada para simplificar el denominador.

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Paso 1: Sustitución

Sea $x = 3\tan\theta$. Entonces: $dx = 3\sec^2\theta \, d\theta$ y $x^2 + 9 = 9\tan^2\theta + 9 = 9(\tan^2\theta + 1) = 9\sec^2\theta.$

Sustituyendo esto en la integral, tenemos: $I = \int \frac{3\sec^2\theta \, d\theta}{\sqrt{9\sec^2\theta}} = \int \frac{3\sec^2\theta \, d\theta}{3\sec\theta} = \int \sec\theta \, d\theta.$

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Paso 2: Resolver la integral en términos de $\theta$

Sabemos que: $\int \sec\theta \, d\theta = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C.$

Por lo tanto, tenemos: $I = \ln|\sec\theta + \tan\theta| + C.$

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Paso 3: Regresar a la variable original

De la sustitución $x = 3\tan\theta$, sabemos que: $\tan\theta = \frac{x}{3}, \quad \sec\theta = \sqrt{1 + \tan^2\theta} = \sqrt{1 + \frac{x^2}{9}} = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{3}.$

Entonces: $\sec\theta + \tan\theta = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{3} + \frac{x}{3} = \frac{\sqrt{x^2 + 9} + x}{3}.$

La integral queda: $I = \ln\left|\frac{\sqrt{x^2 + 9} + x}{3}\right| + C.$

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Paso 4: Evaluar los límites de integración

La integral definida es: $I = \int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 9}}.$

Sustituyendo los valores de $x$ en $\tan\theta = \frac{x}{3}$:

• Cuando $x = 0$: $\tan\theta = 0 \implies \theta = 0$.
• Cuando $x = 4$: $\tan\theta = \frac{4}{3} \implies \theta = \tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$.

Por lo tanto: $I = \left[\ln\left|\frac{\sqrt{x^2 + 9} + x}{3}\right|\right]_0^4.$

Sustituyendo:

1. Para $x = 4$: $\ln\left|\frac{\sqrt{4^2 + 9} + 4}{3}\right| = \ln\left|\frac{\sqrt{16 + 9} + 4}{3}\right| = \ln\left|\frac{\sqrt{25} + 4}{3}\right| = \ln\left|\frac{5 + 4}{3}\right| = \ln\left(\frac{9}{3}\right) = \ln(3).$

2. Para $x = 0$: $\ln\left|\frac{\sqrt{0^2 + 9} + 0}{3}\right| = \ln\left|\frac{\sqrt{9}}{3}\right| = \ln(1) = 0.$

Entonces: $I = \ln(3) - 0 = \ln(3).$

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Respuesta final:

$\int_0^4 \frac{dx}{\sqrt{x^2 + 9}} = \ln(3).$

¿Quieres más detalles o tienes preguntas? Aquí hay 5 preguntas relacionadas para explorar más el tema:

1. ¿Qué otras sustituciones serían útiles para integrales con raíces cuadradas como esta?
2. ¿Cómo se deriva la fórmula para la integral de $\sec\theta$?
3. ¿Cómo afecta el cambio de límites al usar sustituciones trigonométricas?
4. ¿Existen otros métodos para resolver esta integral sin sustituciones trigonométricas?
5. ¿Cómo se aplica la trigonometría hiperbólica en este tipo de integrales?

Tip: Las sustituciones trigonométricas son especialmente útiles para simplificar integrales con expresiones de la forma $\sqrt{a^2 + x^2}$, $\sqrt{a^2 - x^2}$ o $\sqrt{x^2 - a^2}$.