Para plantear las integrales que mencionas, vamos a considerar el problema de la siguiente manera:

1. Descripción del problema:

   • Tienes un diagrama con tres curvas cerradas:
     • $\Gamma_1$ es la curva azul.
     • $\Gamma_2$ es la curva roja.
     • El círculo en el centro es el círculo unitario, que podemos llamar $\Gamma_3$.

2. Función a integrar:

   • Dado que mencionas la función $\frac{1}{z}$, es probable que estemos trabajando en el plano complejo y quieras aplicar el teorema de Cauchy o un resultado relacionado con integrales de contorno.

3. Formulación de las integrales:

   • Integral sobre $\Gamma_1$: $I_1 = \oint_{\Gamma_1} \frac{1}{z} \, dz$
   • Integral sobre $\Gamma_2$: $I_2 = \oint_{\Gamma_2} \frac{1}{z} \, dz$
   • Integral sobre $\Gamma_3$ (el círculo unitario): $I_3 = \oint_{\Gamma_3} \frac{1}{z} \, dz$

4. Aplicación del teorema de Cauchy:

   • El teorema de Cauchy establece que para una función analítica dentro y en un contorno cerrado $C$, \oint_{C} f(z) \, dz = 2\pi i \times \text{(Suma de los residuos de f(z)$dentro de$C)}
   • En el caso de la función $\frac{1}{z}$, tiene un polo de orden 1 en $z = 0$.
   • Si el contorno incluye el origen $z=0$ dentro de él, la integral es $2\pi i$. Si el origen está fuera del contorno, la integral es 0.

5. Resultados esperados:

   • Para $\Gamma_3$ (el círculo unitario), dado que encierra el origen, la integral será: $I_3 = 2\pi i$
   • Si $\Gamma_1$ o $\Gamma_2$ también encierran el origen, sus integrales serán $2\pi i$; si no lo hacen, serán 0.

¿Te gustaría que profundicemos en algún cálculo específico o necesitas más detalles sobre cómo aplicar estos conceptos?

Preguntas Relacionadas:

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8. ¿Qué sucede si cambias la función a $\frac{z^n}{z}$ con $n \neq -1$?

Tip: Para evaluar integrales de contorno en el plano complejo, identificar si la función tiene singularidades dentro del contorno es clave.