En una recta se ubican los puntos consecutivos A,B,C y D tal que BC-AB=2 y AB-CD=4. Si AB
toma su menor valor entero, halle AD.

Dado el problema, vamos a utilizar las coordenadas de los puntos en la recta y las diferencias de distancias dadas para encontrar el valor de \( AD \).

**Definición de coordenadas:**

- Sean \( A, B, C \) y \( D \) puntos consecutivos en una recta.
- Asignemos coordenadas para simplificar:
  - Supongamos que \( A \) está en el origen, por lo que \( A = 0 \).
  - Sean \( B = x \), \( C = y \) y \( D = z \), donde \( x, y, z \) son las coordenadas de los puntos \( B, C, \) y \( D \) respectivamente.

**Relaciones dadas en el problema:**

1. \( BC - AB = 2 \)
2. \( AB - CD = 4 \)

Traduciendo estas relaciones en términos de las coordenadas:

1. \( BC - AB = 2 \):
   - \( (y - x) - x = 2 \)
   - \( y - 2x = 2 \)  \(\Rightarrow (1)\)

2. \( AB - CD = 4 \):
   - \( x - (z - y) = 4 \)
   - \( x - z + y = 4 \) \(\Rightarrow (2)\)

**Resolviendo las ecuaciones para los valores de \( x, y, z \):**

De la ecuación \((1)\): \( y - 2x = 2 \)

Despejando \( y \):
\[
y = 2x + 2
\]

Sustituyendo \( y \) en la ecuación \((2)\):
\[
x - z + (2x + 2) = 4
\]
\[
3x - z + 2 = 4
\]
\[
3x - z = 2 \Rightarrow (3)
\]

**Buscando los valores mínimos enteros:**

Queremos encontrar los valores mínimos enteros de \( x, y, z \) para que \( AB \) (es decir, \( x \)) sea entero. Probemos con \( x = 1 \), que es el menor valor entero posible para \( AB \):

1. Si \( x = 1 \):
   - De \((1)\), \( y = 2(1) + 2 = 4 \).
   - De \((3)\), \( 3(1) - z = 2 \Rightarrow 3 - z = 2 \Rightarrow z = 1 \).

**Calculando \( AD \):**

- \( AD = z - 0 = z = 1 \).

**Respuesta:**

El valor de \( AD \) es \(\boxed{1}\).

¿Te gustaría más detalles sobre esta solución o tienes alguna pregunta?

**Preguntas relacionadas:**
1. ¿Cómo se determinan las coordenadas de puntos en una recta?
2. ¿Qué sucede si asumimos diferentes valores para \( AB \)?
3. ¿Cómo se pueden resolver otros problemas con puntos consecutivos en una recta?
4. ¿Qué otros métodos se pueden usar para resolver este problema?
5. ¿Cómo se relacionan estas diferencias con distancias en una línea numérica?

**Tip:** En problemas con puntos consecutivos y diferencias de distancias, establecer un sistema de coordenadas y escribir ecuaciones puede simplificar la solución.

Learn how to solve a problem involving consecutive points A, B, C, and D on a line with given distance differences. Understand the use of coordinate geometry and linear equations to find the value of AD. Suitable for students in Grades 7-9.

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