Tentukan Himpunan Penyelesaian dari |x - 22 < 4|x - 2| + 12

Untuk menentukan himpunan penyelesaian dari \( |x - 22| < 4|x - 2| + 12 \), kita akan membahas langkah-langkahnya secara rinci.

### Langkah 1: Pisahkan Modulus
Pertama, kita harus mempertimbangkan sifat dari nilai mutlak. Kita punya dua nilai mutlak yang harus diurai:

\[
|x - 22| \quad \text{dan} \quad |x - 2|
\]

### Langkah 2: Tentukan Batas Kasus
Setiap kali ada nilai mutlak, kita harus mempertimbangkan kasus-kasus di mana ekspresi di dalam nilai mutlak berubah tanda. Dalam hal ini, batasnya adalah \( x = 22 \) dan \( x = 2 \).

Kita akan mempertimbangkan tiga interval:
1. \( x < 2 \)
2. \( 2 \leq x < 22 \)
3. \( x \geq 22 \)

### Langkah 3: Evaluasi Setiap Kasus

#### Kasus 1: \( x < 2 \)
- \( |x - 22| = 22 - x \)
- \( |x - 2| = 2 - x \)

Sehingga persamaan menjadi:

\[
22 - x < 4(2 - x) + 12
\]

Selesaikan:

\[
22 - x < 8 - 4x + 12
\]
\[
22 - x < 20 - 4x
\]
\[
3x < -2
\]
\[
x > \frac{2}{3}
\]

Untuk interval ini, \( x > \frac{2}{3} \) tetapi juga \( x < 2 \), sehingga solusinya adalah \( \frac{2}{3} < x < 2 \).

#### Kasus 2: \( 2 \leq x < 22 \)
- \( |x - 22| = 22 - x \)
- \( |x - 2| = x - 2 \)

Sehingga persamaan menjadi:

\[
22 - x < 4(x - 2) + 12
\]

Selesaikan:

\[
22 - x < 4x - 8 + 12
\]
\[
22 - x < 4x + 4
\]
\[
-5x < -18
\]
\[
x > \frac{18}{5} = 3.6
\]

Untuk interval ini, \( 3.6 < x < 22 \).

#### Kasus 3: \( x \geq 22 \)
- \( |x - 22| = x - 22 \)
- \( |x - 2| = x - 2 \)

Sehingga persamaan menjadi:

\[
x - 22 < 4(x - 2) + 12
\]

Selesaikan:

\[
x - 22 < 4x - 8 + 12
\]
\[
x - 22 < 4x + 4
\]
\[
-3x < 26
\]
\[
x > -\frac{26}{3} = -8.67
\]

Untuk interval ini, \( x \geq 22 \) yang selalu benar.

### Langkah 4: Gabungkan Hasilnya
Berdasarkan tiga kasus di atas, himpunan penyelesaian adalah:

\[
\boxed{\frac{2}{3} < x < 22}
\]

Apakah Anda ingin rincian lebih lanjut atau memiliki pertanyaan? 

#### Pertanyaan Terkait:
1. Bagaimana cara menentukan penyelesaian dari ketidaksamaan yang melibatkan dua atau lebih nilai mutlak?
2. Apa yang terjadi jika terdapat ketidaksamaan dengan lebih dari dua nilai mutlak?
3. Bagaimana kita menggunakan sifat-sifat nilai mutlak dalam menyelesaikan persamaan?
4. Bagaimana peran interval dalam menentukan penyelesaian nilai mutlak?
5. Dapatkah metode ini diterapkan untuk persamaan nilai mutlak yang lebih kompleks?

#### Tip:
Selalu perhatikan perubahan tanda pada ekspresi dalam nilai mutlak, karena ini akan menentukan bagaimana ketidaksamaan dapat dipecahkan dalam interval yang berbeda.

Learn how to solve the inequality |x - 22| < 4|x - 2| + 12 step-by-step with detailed explanations and interval notations. This problem involves absolute values, inequalities, and their implications, suitable for advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation