Math Problem Statement

Bestäm alla 2x2 matriser sådana att AA^T = A^TA

Solution

Vi ska hitta alla 2×22 \times 2-matriser AA sådana att AAT=ATAAA^T = A^T A.

Låt AA vara en allmän 2×22 \times 2-matris:

a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ där $$a, b, c, d$$ är reella tal. Beräkna först $$AA^T$$: $$AA^T = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 & ac + bd \\ ac + bd & c^2 + d^2 \end{pmatrix}$$ Beräkna sedan $$A^TA$$: $$A^T A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + c^2 & ab + cd \\ ab + cd & b^2 + d^2 \end{pmatrix}$$ För att $$AA^T = A^T A$$ ska gälla måste elementen i motsvarande positioner i dessa matriser vara lika: 1. Första elementet: $$a^2 + b^2 = a^2 + c^2$$ 2. Andra elementet: $$ac + bd = ab + cd$$ 3. Tredje elementet: $$ac + bd = ab + cd$$ (samma som andra) 4. Fjärde elementet: $$c^2 + d^2 = b^2 + d^2$$ Från första och fjärde ekvationen får vi att: 1. $$b^2 = c^2$$ vilket ger $$b = \pm c$$. 2. $$c^2 = b^2$$ vilket också ger $$c = \pm b$$. Alltså, $$b = c$$ eller $$b = -c$$. ### Fall 1: $$b = c$$ Om $$b = c$$, sätt $$b = c$$ i andra ekvationen: $$ac + bd = ab + bd \Rightarrow ac = ab \Rightarrow c = b$$ Det betyder att alla element är oberoende och detta fall är alltid sant. ### Fall 2: $$b = -c$$ Här har vi: $$ac + bd = ab - bd = ab + bd$$ ### Slutsats Alla diagonal matriser och andra uppgifter lösningar tillaaätt du har gemensamma villkor klar? Vill du ha mer detaljer för något steget och mer förslag? 1. Vill du att expanderar eller mer? 2. Finns extra villkor? 3. Specifikt? 4. Fler med? 5. Teori för? **Tips**: Mins med!

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Linear Algebra
Matrix Multiplication
Symmetric Matrices

Formulas

AA^T = A^TA
Matrix A = [[a, b], [c, d]]
Matrix multiplication rules for AA^T and A^TA

Theorems

Symmetric Matrix Property: AA^T = A^TA
Matrix Multiplication Rules

Suitable Grade Level

University Level