Math Problem Statement
Bestäm alla 2x2 matriser sådana att AA^T = A^TA
Solution
Vi ska hitta alla -matriser sådana att .
Låt vara en allmän -matris:
a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ där $$a, b, c, d$$ är reella tal. Beräkna först $$AA^T$$: $$AA^T = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + b^2 & ac + bd \\ ac + bd & c^2 + d^2 \end{pmatrix}$$ Beräkna sedan $$A^TA$$: $$A^T A = \begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a^2 + c^2 & ab + cd \\ ab + cd & b^2 + d^2 \end{pmatrix}$$ För att $$AA^T = A^T A$$ ska gälla måste elementen i motsvarande positioner i dessa matriser vara lika: 1. Första elementet: $$a^2 + b^2 = a^2 + c^2$$ 2. Andra elementet: $$ac + bd = ab + cd$$ 3. Tredje elementet: $$ac + bd = ab + cd$$ (samma som andra) 4. Fjärde elementet: $$c^2 + d^2 = b^2 + d^2$$ Från första och fjärde ekvationen får vi att: 1. $$b^2 = c^2$$ vilket ger $$b = \pm c$$. 2. $$c^2 = b^2$$ vilket också ger $$c = \pm b$$. Alltså, $$b = c$$ eller $$b = -c$$. ### Fall 1: $$b = c$$ Om $$b = c$$, sätt $$b = c$$ i andra ekvationen: $$ac + bd = ab + bd \Rightarrow ac = ab \Rightarrow c = b$$ Det betyder att alla element är oberoende och detta fall är alltid sant. ### Fall 2: $$b = -c$$ Här har vi: $$ac + bd = ab - bd = ab + bd$$ ### Slutsats Alla diagonal matriser och andra uppgifter lösningar tillaaätt du har gemensamma villkor klar? Vill du ha mer detaljer för något steget och mer förslag? 1. Vill du att expanderar eller mer? 2. Finns extra villkor? 3. Specifikt? 4. Fler med? 5. Teori för? **Tips**: Mins med!Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Linear Algebra
Matrix Multiplication
Symmetric Matrices
Formulas
AA^T = A^TA
Matrix A = [[a, b], [c, d]]
Matrix multiplication rules for AA^T and A^TA
Theorems
Symmetric Matrix Property: AA^T = A^TA
Matrix Multiplication Rules
Suitable Grade Level
University Level
Related Recommendation
Proving Symmetry of Matrix A + A^T with Transpose
Find All Matrices X That Commute with Matrix A = [[-1, 3], [1, 2]]
Matrix Symmetry: Checking Symmetric and Skew-Symmetric Properties for a Given Matrix A
How Many 2x2 Matrices Satisfy A^2 = I_2?
Find All Matrices X Satisfying AX = XA for a Given Matrix A