Determine el conjunto solución de la siguiente ecuación: ﻿x al cubo más 2 b x al cuadrado menos 9 x menos 18 b igual 0

Para determinar el conjunto solución de la ecuación \(x^3 + 2bx^2 - 9x - 18b = 0\), podemos usar el método de factorización o, si es complicado factorizar, usar la fórmula cúbica general. Comencemos revisando si es posible factorizar la ecuación de forma directa.

### Paso 1: Buscar raíces racionales posibles
Primero, revisemos las posibles raíces racionales usando el **Teorema del Racional**. Las posibles raíces racionales son los divisores del término independiente (en este caso, \(-18b\)) sobre los divisores del coeficiente principal (en este caso, \(1\)).

Divisores de \(-18b\): \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18, \pm b, \pm 2b, \pm 3b, \pm 6b, \pm 9b, \pm 18b\).

Divisores de \(1\): \(\pm 1\).

Entonces, las raíces racionales posibles son: \(\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm 9, \pm 18, \pm b, \pm 2b, \pm 3b, \pm 6b, \pm 9b, \pm 18b\).

### Paso 2: Evaluar raíces posibles
Evaluamos las posibles raíces utilizando la ecuación \(x^3 + 2bx^2 - 9x - 18b = 0\). Primero probamos \(x = 3\):

\[
f(3) = 3^3 + 2b \cdot 3^2 - 9 \cdot 3 - 18b = 27 + 18b - 27 - 18b = 0
\]

Así que \(x = 3\) es una raíz.

### Paso 3: Factorizar el polinomio
Dado que \(x = 3\) es una raíz, podemos factorizar \(x^3 + 2bx^2 - 9x - 18b\) como \((x - 3)\) multiplicado por un polinomio cuadrático. Realizamos la división sintética para encontrar el otro factor:

\[
x^3 + 2bx^2 - 9x - 18b = (x - 3)(x^2 + 5bx + 6b)
\]

### Paso 4: Resolver el polinomio cuadrático
Resolvemos la ecuación cuadrática \(x^2 + 5bx + 6b = 0\) utilizando la fórmula general:

\[
x = \frac{-5b \pm \sqrt{(5b)^2 - 4(1)(6b)}}{2(1)}
\]

\[
x = \frac{-5b \pm \sqrt{25b^2 - 24b}}{2}
\]

\[
x = \frac{-5b \pm \sqrt{b(25b - 24)}}{2}
\]

### Paso 5: Conjunto solución
Las soluciones de la ecuación cúbica son:
- \(x_1 = 3\)
- \(x_2 = \frac{-5b + \sqrt{b(25b - 24)}}{2}\)
- \(x_3 = \frac{-5b - \sqrt{b(25b - 24)}}{2}\)

Entonces, el conjunto solución es:

\[
\{3, \frac{-5b + \sqrt{b(25b - 24)}}{2}, \frac{-5b - \sqrt{b(25b - 24)}}{2}\}
\]

¿Quieres detalles adicionales o tienes alguna pregunta?

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**Preguntas Relativas:**

1. ¿Cómo se puede determinar si un polinomio tiene raíces reales o complejas?
2. ¿Qué es el Teorema del Racional y cómo se aplica en la factorización de polinomios?
3. ¿Cómo se realiza la división sintética paso a paso?
4. ¿Qué métodos alternativos existen para resolver ecuaciones cúbicas?
5. ¿Cuál es la fórmula cúbica general para resolver cualquier ecuación cúbica?
6. ¿Cómo se pueden interpretar gráficamente las raíces de un polinomio cúbico?
7. ¿Qué sucede cuando el discriminante en la fórmula cuadrática es negativo?
8. ¿Cómo afecta el valor de \(b\) en la solución de la ecuación dada?

**Tip:** Siempre verifica si un valor es raíz de una ecuación polinómica evaluándolo directamente en la ecuación.

Explore the solution set for the equation x^3 + 2bx^2 - 9x - 18b = 0. Learn how to determine roots using factorization and the cubic formula. Suitable for advanced high school students.

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