Si una de las raíces de la ecuación 2x^2  - 4x + k^2  - 2k - 3 = 0 es cero, ¿Cuánto vale k?

Dado que una de las raíces de la ecuación es cero, esto implica que \( x = 0 \) es una solución de la ecuación.

Primero, sustituimos \( x = 0 \) en la ecuación cuadrática:

\[
2(0)^2 - 4(0) + k^2 - 2k - 3 = 0
\]

Simplificando, obtenemos:

\[
k^2 - 2k - 3 = 0
\]

Ahora resolvemos esta ecuación cuadrática para encontrar los valores de \( k \). Utilizamos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas:

\[
k = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Aquí, \( a = 1 \), \( b = -2 \) y \( c = -3 \). Sustituyendo estos valores en la fórmula:

\[
k = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}
\]

Simplificando:

\[
k = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2}
\]

\[
k = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2}
\]

\[
k = \frac{2 \pm 4}{2}
\]

Esto da dos posibles soluciones para \( k \):

\[
k_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3
\]

\[
k_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1
\]

Por lo tanto, \( k \) puede ser \( \mathbf{3} \) o \( \mathbf{-1} \).

¿Te gustaría más detalles o tienes alguna pregunta?

**Preguntas Relacionadas:**
1. ¿Cómo se verifica si \( k = 3 \) o \( k = -1 \) son soluciones válidas?
2. ¿Qué significa que una raíz sea cero en términos de la gráfica de la ecuación?
3. ¿Cómo afecta el valor de \( k \) a la naturaleza de las raíces de la ecuación?
4. ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática usando la factorización?
5. ¿Qué otros métodos existen para resolver ecuaciones cuadráticas?

**Tip:** Cuando trabajas con ecuaciones cuadráticas, siempre es útil verificar las soluciones sustituyéndolas de nuevo en la ecuación original.

Explore the solution to the quadratic equation 2x^2 - 4x + k^2 - 2k - 3 = 0 with detailed steps and calculations. Learn how to determine the value of k when one of the roots of the equation is zero. Suitable for high school students studying quadratic equations.

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