A feladat szerint adott a következő differenciálegyenlet:

$\frac{dy}{dx} = 1 + y^2$

kezdeti feltétellel:

$y\left(\frac{\pi}{5}\right) = 5.$

Keresnünk kell a differenciálegyenlet olyan partikularis megoldását, amely kielégíti ezt a kezdeti feltételt, és amelynek helyettesítési értékét az $x = \frac{3\pi}{5}$ pontban megadhatjuk.

1. lépés: Szétválasztás

A differenciálegyenlet szétválasztható, mivel a jobb oldal csak $y$-t tartalmaz. Az egyenlet átrendezhető a következő formára:

$\frac{1}{1 + y^2} \, dy = dx.$

2. lépés: Integrálás

Most mindkét oldalt integráljuk:

$\int \frac{1}{1 + y^2} \, dy = \int dx.$

A bal oldalon az integrál $\arctan(y)$, míg a jobb oldalon az integrál $x$-et ad. Így az általános megoldás:

$\arctan(y) = x + C,$

ahol $C$ integrációs konstans.

3. lépés: Kezdeti feltétel alkalmazása

A kezdeti feltétel szerint $y\left(\frac{\pi}{5}\right) = 5$. Ezt behelyettesítve az egyenletbe meghatározhatjuk $C$ értékét:

$\arctan(5) = \frac{\pi}{5} + C.$

Innen $C$-t kifejezve:

$C = \arctan(5) - \frac{\pi}{5}.$

4. lépés: Partikularis megoldás

Most, hogy megvan $C$, a megoldásunk a következő formát ölti:

$\arctan(y) = x + \left(\arctan(5) - \frac{\pi}{5}\right).$

Ebből $y$-t kifejezhetjük úgy, hogy mindkét oldal tangensét vesszük:

$y = \tan\left(x + \arctan(5) - \frac{\pi}{5}\right).$

5. lépés: Helyettesítési érték kiszámítása

Most keressük a $y$ értékét az $x = \frac{3\pi}{5}$ helyen:

$y\left(\frac{3\pi}{5}\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{5} + \arctan(5) - \frac{\pi}{5}\right).$

Egyszerűsítve:

$y\left(\frac{3\pi}{5}\right) = \tan\left(\frac{2\pi}{5} + \arctan(5)\right).$

Ez az a keresett helyettesítési érték a megadott pontban.

---

Szeretné, hogy részletesebben bemutassam az egyes lépéseket, vagy van kérdése?

További kérdések:

1. Hogyan számítható ki a tangens és az arkusz tangens kifejezés értéke?
2. Miért használtuk a tangens függvény inverzét az általános megoldás kifejezésére?
3. Hogyan hat a kezdeti feltétel az integrációs konstansra?
4. Milyen egyéb módszerek léteznek az ilyen differenciálegyenletek megoldására?
5. Hogyan lehet numerikusan megközelíteni a megoldást, ha a zárt forma nem kifejezhető?

Tipp:

Differenciálegyenletek megoldásánál mindig érdemes ellenőrizni a szétválaszthatóságot, mert egyszerűsítheti a megoldási folyamatot.