Számítsa ki az 
�
2
=
1
+
�
2
2
y
​
 =1+y 
2
  differenciálegyenletet 
�
(
�
5
)
=
5
y( 
5
π
​
 )=5 kezdeti feltételt kielégítő partikularis megoldását! Adja meg a partikularis megoldás helyettesítési értékét az 
�
=
�
3
x= 
3
π
​
  helyen!

A feladat szerint adott a következő differenciálegyenlet:

\[
\frac{dy}{dx} = 1 + y^2
\]

kezdeti feltétellel:

\[
y\left(\frac{\pi}{5}\right) = 5.
\]

Keresnünk kell a differenciálegyenlet olyan partikularis megoldását, amely kielégíti ezt a kezdeti feltételt, és amelynek helyettesítési értékét az \( x = \frac{3\pi}{5} \) pontban megadhatjuk.

### 1. lépés: Szétválasztás
A differenciálegyenlet szétválasztható, mivel a jobb oldal csak \( y \)-t tartalmaz. Az egyenlet átrendezhető a következő formára:

\[
\frac{1}{1 + y^2} \, dy = dx.
\]

### 2. lépés: Integrálás
Most mindkét oldalt integráljuk:

\[
\int \frac{1}{1 + y^2} \, dy = \int dx.
\]

A bal oldalon az integrál \(\arctan(y)\), míg a jobb oldalon az integrál \( x \)-et ad. Így az általános megoldás:

\[
\arctan(y) = x + C,
\]

ahol \( C \) integrációs konstans.

### 3. lépés: Kezdeti feltétel alkalmazása
A kezdeti feltétel szerint \( y\left(\frac{\pi}{5}\right) = 5 \). Ezt behelyettesítve az egyenletbe meghatározhatjuk \( C \) értékét:

\[
\arctan(5) = \frac{\pi}{5} + C.
\]

Innen \( C \)-t kifejezve:

\[
C = \arctan(5) - \frac{\pi}{5}.
\]

### 4. lépés: Partikularis megoldás
Most, hogy megvan \( C \), a megoldásunk a következő formát ölti:

\[
\arctan(y) = x + \left(\arctan(5) - \frac{\pi}{5}\right).
\]

Ebből \( y \)-t kifejezhetjük úgy, hogy mindkét oldal tangensét vesszük:

\[
y = \tan\left(x + \arctan(5) - \frac{\pi}{5}\right).
\]

### 5. lépés: Helyettesítési érték kiszámítása
Most keressük a \( y \) értékét az \( x = \frac{3\pi}{5} \) helyen:

\[
y\left(\frac{3\pi}{5}\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{5} + \arctan(5) - \frac{\pi}{5}\right).
\]

Egyszerűsítve:

\[
y\left(\frac{3\pi}{5}\right) = \tan\left(\frac{2\pi}{5} + \arctan(5)\right).
\]

Ez az a keresett helyettesítési érték a megadott pontban.

---

Szeretné, hogy részletesebben bemutassam az egyes lépéseket, vagy van kérdése?

### További kérdések:
1. Hogyan számítható ki a tangens és az arkusz tangens kifejezés értéke?
2. Miért használtuk a tangens függvény inverzét az általános megoldás kifejezésére?
3. Hogyan hat a kezdeti feltétel az integrációs konstansra?
4. Milyen egyéb módszerek léteznek az ilyen differenciálegyenletek megoldására?
5. Hogyan lehet numerikusan megközelíteni a megoldást, ha a zárt forma nem kifejezhető?

#### Tipp:
Differenciálegyenletek megoldásánál mindig érdemes ellenőrizni a szétválaszthatóságot, mert egyszerűsítheti a megoldási folyamatot.

Számítsa ki az y' = 1 + y^2 differenciálegyenletet y(π/5) = 5 kezdeti feltételt kielégítő partikularis megoldását! Adja meg a partikularis megoldás helyettesítési értékét az x = 3π/5 helyen!

Calculate the particular solution to the differential equation y' = 1 + y^2 that satisfies the initial condition y(π/5) = 5, and find the solution's value at x = 3π/5. This problem involves separation of variables, initial conditions, and integration, suitable for college-level calculus.

Math Problem Statement

Számítsa ki az � 2

1 + � 2 2 y =1+y 2 differenciálegyenletet � ( � 5 )

5 y( 5 π )=5 kezdeti feltételt kielégítő partikularis megoldását! Adja meg a partikularis megoldás helyettesítési értékét az �

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation