Pour résoudre cette intégrale, nous devons d'abord écrire correctement l'intégrale. Vous avez donné l'expression comme R 1 0 1 (2−x)(3−x) dx, ce qui semble être une notation incorrecte. Cependant, je pense que vous voulez dire $\int_0^1 \frac{1}{(2-x)(3-x)} \, dx$.

Pour résoudre $\int_0^1 \frac{1}{(2-x)(3-x)} \, dx$, nous utilisons la méthode des fractions partielles. Pour cela, nous décomposons l'intégrande :

$\frac{1}{(2-x)(3-x)} = \frac{A}{2-x} + \frac{B}{3-x}$

En trouvant un dénominateur commun, nous devons avoir :

$1 = A(3-x) + B(2-x)$

En développant, cela donne :

$1 = (3A + 2B) - (A + B)x$

Pour que cette égalité soit vraie pour tous $x$, nous devons avoir :

1. $A + B = 0$
2. $3A + 2B = 1$

Résolvons ce système :

De l'équation $A + B = 0$, on a $B = -A$.

Substituons $B = -A$ dans l'autre équation :

$3A + 2(-A) = 1 \implies 3A - 2A = 1 \implies A = 1$

Donc, $B = -A = -1$.

La décomposition en fractions partielles est donc :

$\frac{1}{(2-x)(3-x)} = \frac{1}{2-x} - \frac{1}{3-x}$

L'intégrale devient :

$\int_0^1 \left( \frac{1}{2-x} - \frac{1}{3-x} \right) \, dx$

Calculons chaque intégrale séparément :

1. $\int \frac{1}{2-x} \, dx = -\ln|2-x|$
2. $\int \frac{1}{3-x} \, dx = -\ln|3-x|$

En substituant dans notre intégrale, nous avons :

[ -\left[ \ln|2-x| \right]_0^1 + \left[ \ln|3-x| \right]_0^1 ]

Calculons cette valeur :

$-\left( \ln(1) - \ln(2) \right) + \left( \ln(2) - \ln(3) \right)$

Simplifions :

$- (0 - \ln 2) + (\ln 2 - \ln 3) = \ln 2 + \ln 2 - \ln 3 = 2 \ln 2 - \ln 3$

Donc, la réponse correcte est A. $2 \ln(2) - \ln(3)$.