Pour résoudre cette intégrale, nous devons d'abord la simplifier. L'intégrale donnée est :

$\int_0^1 \frac{1}{(2-x)(3-x)} \, dx.$

Pour intégrer cette fonction, nous pouvons utiliser la méthode de décomposition en éléments simples. Nous cherchons donc à exprimer la fonction sous la forme :

$\frac{1}{(2-x)(3-x)} = \frac{A}{2-x} + \frac{B}{3-x}.$

Pour trouver A et B, mettons l'expression au même dénominateur :

$1 = A(3-x) + B(2-x).$

Développons et réorganisons cette équation :

$1 = (A+B)x + (3A + 2B).$

On obtient donc le système d'équations :

1. $A + B = 0$
2. $3A + 2B = 1$

Résolvons ce système. De la première équation, nous avons $B = -A$. En substituant dans la deuxième équation, nous obtenons :

$3A + 2(-A) = 1 \implies 3A - 2A = 1 \implies A = 1.$

Alors, $B = -1$.

La décomposition en éléments simples est donc :

$\frac{1}{(2-x)(3-x)} = \frac{1}{2-x} - \frac{1}{3-x}.$

L'intégrale devient :

$\int_0^1 \left( \frac{1}{2-x} - \frac{1}{3-x} \right) \, dx.$

Intégrons chaque terme séparément :

$\int_0^1 \frac{1}{2-x} \, dx = -\ln|2-x| \bigg|_0^1 = -(\ln|1| - \ln|2|) = \ln(2).$

$\int_0^1 \frac{1}{3-x} \, dx = -\ln|3-x| \bigg|_0^1 = -(\ln|2| - \ln|3|) = \ln(3) - \ln(2).$

La différence de ces intégrales est :

$\ln(2) - (\ln(3) - \ln(2)) = \ln(2) - \ln(3) + \ln(2) = 2\ln(2) - \ln(3).$

Ainsi, la réponse correcte est $2\ln(2) - \ln(3)$. Donc la réponse correcte est :

A. $2 \ln(2) - \ln(3)$.