Pour résoudre cette intégrale et identifier la bonne réponse parmi les options proposées, suivons les étapes :

L’intégrale donnée est :
$\int_0^1 \frac{1}{(2-x)(3-x)} \, dx$

Étape 1 : Décomposition en fractions partielles

On commence par décomposer $\frac{1}{(2-x)(3-x)}$ en fractions partielles : $\frac{1}{(2-x)(3-x)} = \frac{A}{2-x} + \frac{B}{3-x}.$ En regroupant les dénominateurs : $\frac{1}{(2-x)(3-x)} = \frac{A(3-x) + B(2-x)}{(2-x)(3-x)}.$ Cela donne : $1 = A(3-x) + B(2-x).$

Développons : $1 = 3A - Ax + 2B - Bx.$ Réorganisons : $1 = (3A + 2B) + (-A - B)x.$

En identifiant les coefficients :

1. Pour le terme constant : $3A + 2B = 1$,
2. Pour le terme en $x$ : $-A - B = 0$.

Résolvons ce système d’équations :

1. $3A + 2B = 1$,
2. $A + B = 0 \implies B = -A$.

Substituons $B = -A$ dans $3A + 2B = 1$ : $3A + 2(-A) = 1 \implies 3A - 2A = 1 \implies A = 1.$ Ainsi, $B = -A = -1$.

Donc : $\frac{1}{(2-x)(3-x)} = \frac{1}{2-x} - \frac{1}{3-x}.$

Étape 2 : Calcul de l’intégrale

On peut maintenant écrire : $\int_0^1 \frac{1}{(2-x)(3-x)} \, dx = \int_0^1 \frac{1}{2-x} \, dx - \int_0^1 \frac{1}{3-x} \, dx.$

Pour $\int \frac{1}{a-x} \, dx$, le résultat est $-\ln|a-x| + C$. Appliquons cela :

1. $\int_0^1 \frac{1}{2-x} \, dx = -\ln|2-x| \big|_0^1 = -[\ln(1) - \ln(2)] = \ln(2).$

2. $\int_0^1 \frac{1}{3-x} \, dx = -\ln|3-x| \big|_0^1 = -[\ln(2) - \ln(3)] = \ln(3) - \ln(2).$

Ainsi, l’intégrale totale est : $\ln(2) - (\ln(3) - \ln(2)) = \ln(2) - \ln(3) + \ln(2) = 2\ln(2) - \ln(3).$

Étape 3 : Vérification avec les options

La bonne réponse est : $\boxed{A. 2\ln(2) - \ln(3).}$

Questions supplémentaires :

1. Pouvez-vous détailler davantage la méthode de décomposition en fractions partielles ?
2. Pourquoi utilise-t-on le résultat $\int \frac{1}{a-x} \, dx = -\ln|a-x| + C$ ?
3. Comment vérifier si une décomposition en fractions partielles est correcte ?
4. Existe-t-il des méthodes alternatives pour calculer cette intégrale ?
5. Quelle est l'importance des bornes dans le calcul intégral ?

Astuce : Pour vérifier vos résultats, calculez numériquement l'intégrale et comparez avec les expressions analytiques.