Diketahui:

$\log_3 5 = a \quad \text{dan} \quad \log_5 7 = b$

Kita ingin menentukan $\log_{49} \sqrt{15}$.

Gunakan aturan perubahan basis logaritma:

$\log_{49} \sqrt{15} = \frac{\log_7 \sqrt{15}}{\log_7 49}$

Langkah 1: Menghitung $\log_7 49$

$\log_7 49 = \log_7 (7^2) = 2$

Langkah 2: Menghitung $\log_7 \sqrt{15}$

$\log_7 \sqrt{15} = \log_7 15^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_7 15$

$\log_7 15$ dapat dihitung dengan menggunakan sifat logaritma:

$\log_7 15 = \log_7 (3 \times 5) = \log_7 3 + \log_7 5$

Sekarang, kita perlu menghitung $\log_7 3$ dan $\log_7 5$.

$\log_7 5 = \frac{\log_5 5}{\log_5 7} = \frac{1}{b}$

Untuk $\log_7 3$, gunakan perubahan basis:

$\log_7 3 = \frac{\log_5 3}{\log_5 7}$

Kita tahu bahwa:

$\log_5 3 = \frac{1}{\log_3 5} = \frac{1}{a}$

Jadi,

$\log_7 3 = \frac{\frac{1}{a}}{b} = \frac{1}{ab}$

Sekarang kita gabungkan:

$\log_7 15 = \frac{1}{ab} + \frac{1}{b}$

Atau, dengan menyederhanakan:

$\log_7 15 = \frac{1 + a}{ab}$

Jadi,

$\log_7 \sqrt{15} = \frac{1}{2} \times \frac{1 + a}{ab} = \frac{1 + a}{2ab}$

Langkah 3: Menyusun kembali ke dalam persamaan

Substitusi hasil di atas ke dalam persamaan:

$\log_{49} \sqrt{15} = \frac{\frac{1 + a}{2ab}}{2} = \frac{1 + a}{4ab}$

Jadi, $\log_{49} \sqrt{15} = \frac{1 + a}{4ab}$.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau ada pertanyaan lain?
Berikut adalah beberapa pertanyaan yang mungkin Anda minati:

1. Bagaimana cara menyederhanakan ekspresi logaritma yang melibatkan akar kuadrat?
2. Apa hubungan antara logaritma dengan eksponen negatif?
3. Bagaimana cara menangani logaritma dengan bilangan dasar bukan bilangan prima?
4. Bagaimana cara memecahkan persamaan logaritma dengan menggunakan identitas logaritma?
5. Bagaimana penggunaan logaritma dalam aplikasi sains atau teknik?

Tip: Mengingat sifat logaritma dan aturan perubahan basis sangat membantu dalam menyelesaikan soal-soal logaritma yang kompleks.