Aquí tienes la resolución y explicación de cada uno de los problemas en el examen.

Problema 1

Se pide encontrar una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$ que satisfaga:

1. $f(2) = 0$
2. $f(-3) = 0$
3. $f(4) = 28$

Dado que $f(2) = 0$ y $f(-3) = 0$, sabemos que $x = 2$ y $x = -3$ son raíces de la función. Por lo tanto, podemos expresar $f(x)$ en la forma factorizada: $f(x) = a(x - 2)(x + 3)$ Usando el tercer punto, $f(4) = 28$: $f(4) = a(4 - 2)(4 + 3) = 28$ $f(4) = a \cdot 2 \cdot 7 = 28 \Rightarrow 14a = 28 \Rightarrow a = 2$ Entonces, la función es: $f(x) = 2(x - 2)(x + 3)$ Expandiendo, tenemos: $f(x) = 2(x^2 + x - 6) = 2x^2 + 2x - 12$ La función cuadrática que cumple con las condiciones es: $f(x) = 2x^2 + 2x - 12$

Problema 2

Dado:

• Costo $c(q) = 16q + 5700$
• Ingreso $I(q) = \frac{1}{100}q^2$

1. Utilidad mínima: La utilidad $U(q)$ se define como $U(q) = I(q) - c(q)$: $U(q) = \frac{1}{100}q^2 - (16q + 5700)$ Para hallar la utilidad mínima, derivamos y buscamos el punto crítico: $U'(q) = \frac{1}{50}q - 16$ Resolviendo $U'(q) = 0$: $\frac{1}{50}q = 16 \Rightarrow q = 800$ Calculando $U(800)$: $U(800) = \frac{1}{100}(800)^2 - 16(800) - 5700 = 6400 - 12800 - 5700 = -8100$

2. Punto donde el costo es igual al ingreso: $I(q) = c(q)$ Resolviendo: $\frac{1}{100}q^2 = 16q + 5700$ Multiplicando por 100: $q^2 = 1600q + 570000$ $q^2 - 1600q - 570000 = 0$ Usando la fórmula cuadrática para resolver, encontramos los valores de $q$ que satisfacen la igualdad.

Problema 3

1. Ingreso al alquilar a $675: Si el precio es $p = 675$, el aumento es $175$ (de $500 a $675), lo que implica una disminución de: $\frac{175}{25} \times 2 = 14 \text{ juegos}$ La demanda es de $300 - 14 = 286$ juegos, y el ingreso es: $I = 675 \times 286$

2. Utilidad máxima: Dada la función de costos $C(x) = 100x + 70000$, hallamos la función de utilidad $U(x)$ y optimizamos.

3. Utilidad con alquiler a $725: Usamos el mismo procedimiento para calcular la utilidad cuando $p = 725$.

Problema 4

1. Inversa de la matriz $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -4 & -2 \end{bmatrix}$: Calculamos usando la fórmula de la inversa de una matriz $2 \times 2$.

2. Solución del sistema: Usamos la matriz inversa para resolver $AX = B$.

Problema 5

1. Valores de $k$ para solución única: Estudiamos la dependencia entre las ecuaciones en función de $k$.

2. Sistema para $k = 1$: Resolución por el método de Gauss.

3. Sistema para $k = 4$: Análisis del tipo de sistema resultante.

¿Te gustaría más detalles sobre alguno de estos pasos?

Aquí tienes 5 preguntas adicionales que podrías explorar:

1. ¿Cómo se calcula la matriz inversa en el Problema 4?
2. ¿Cuál es el método de Gauss aplicado en el Problema 5 para $k = 1$?
3. ¿Cómo se determina si un sistema tiene solución única o infinitas soluciones?
4. ¿Qué interpretación tiene la utilidad mínima en términos de costo y producción?
5. ¿Cómo afectan los cambios en el precio a la demanda y al ingreso en modelos económicos?

Tip: Al resolver ecuaciones cuadráticas, siempre verifica si puedes simplificar mediante factorización antes de aplicar la fórmula general.