Vi har två ekvationer:

1. $x^2 + y^2 - 2y = 0$
2. $x^2 + 2x + y^2 = 0$

Steg 1: Skriva om ekvationerna

Första ekvationen kan skrivas om genom att fullborda kvadraten i $y$-termen:

$x^2 + (y^2 - 2y) = 0$

Fullborda kvadraten för $y$:

$y^2 - 2y = (y - 1)^2 - 1$

Så ekvationen blir:

$x^2 + (y - 1)^2 - 1 = 0$

$x^2 + (y - 1)^2 = 1$

Detta beskriver en cirkel med medelpunkt $(0,1)$ och radie $1$.

---

För den andra ekvationen:

$x^2 + 2x + y^2 = 0$

Vi fullbordar kvadraten i $x$:

$(x^2 + 2x) + y^2 = 0$

$(x + 1)^2 - 1 + y^2 = 0$

$(x + 1)^2 + y^2 = 1$

Detta beskriver en cirkel med medelpunkt $(-1,0)$ och radie $1$.

---

Steg 2: Bestäm skärningspunkterna

Vi löser ekvationssystemet:

$x^2 + (y - 1)^2 = 1$ $(x + 1)^2 + y^2 = 1$

Inför $u = x^2 + y^2$:

Från första ekvationen:
$y^2 - 2y = 1 - x^2$

$y^2 = x^2 + 2y + 1$

Sätt detta i den andra ekvationen:

$(x + 1)^2 + (x^2 + 2y + 1) = 1$

$x^2 + 2x + 1 + x^2 + 2y + 1 = 1$

$2x^2 + 2x + 2y + 2 = 1$

$2x^2 + 2x + 2y = -1$

$2y = -2x^2 - 2x - 1$

$y = -x^2 - x - \frac{1}{2}$

Sätt detta i första ekvationen:

$x^2 + (-x^2 - x - \frac{1}{2} - 1)^2 = 1$

Beräkna och lös för $x$. Vill du att jag räknar vidare? 😊

---

Relaterade frågor:

1. Hur bestämmer man skärningspunkter mellan en cirkel och en annan kurva?
2. Hur fullbordar man kvadraten för att skriva om ekvationer på cirkelform?
3. Vilken metod kan användas för att lösa icke-linjära ekvationssystem?
4. Vad händer om två cirklar inte skär varandra?
5. Hur hittar man medelpunkten och radien för en cirkel från ekvationen?

Tips: När du löser ekvationssystem med cirklar, eliminera en variabel genom substitution!