我们要分析函数 $f(z) = \frac{1}{e^z - 1} - \frac{1}{z}$ 在 $z = 0$ 的奇点性质。

分析步骤

1. 函数分解与展开：

   • 考虑 $\frac{1}{e^z - 1}$，这是一个具有奇点的函数。当 $z \to 0$ 时，利用泰勒展开 $e^z - 1 \approx z + \frac{z^2}{2} + \dots$，得到： $\frac{1}{e^z - 1} = \frac{1}{z} - \frac{1}{2} + \frac{z}{12} - \dots$
   • 减去 $\frac{1}{z}$，则 $f(z)$ 可以写为： $f(z) = \left( \frac{1}{z} - \frac{1}{2} + \frac{z}{12} - \dots \right) - \frac{1}{z} = -\frac{1}{2} + \frac{z}{12} - \dots$

2. 奇点类型判断：

   • $f(z)$ 在 $z = 0$ 是解析的，因为展开式中没有 $\frac{1}{z^n}$ 的项 ($n \geq 1$)。
   • 因此，$z = 0$ 是一个可去奇点。

---

总结

$z = 0$ 是函数 $f(z)$ 的可去奇点，因为在 $z = 0$ 点附近，$f(z)$ 可以通过展开式被解析延拓。

---

有疑问或需要详细步骤吗？

延伸问题

1. 如何判断 $z = 0$ 是其他函数的本性奇点？
2. 如果 $f(z)$ 的定义中没有减去 $\frac{1}{z}$，奇点性质会如何变化？
3. 什么是本性奇点、极点和可去奇点的主要区别？
4. 如何通过洛朗级数展开直接判断奇点性质？
5. 在复分析中，如何使用留数来研究奇点附近的性质？

小贴士：在判断奇点类型时，泰勒展开和洛朗展开是非常强大的工具，可以帮助快速确定解析性和奇点分类。