質問の要点を整理すると、次のように解釈されます。

1. 特異点 $P$ を中心とする経路での周回積分により、留数が得られる。
2. その関数は、特異点 $P$ を除く複素平面全体に正則であり、解析接続によって無限遠点も含めた広範囲に拡張可能である。
3. 特異点 $P$ は、その関数の性質によって決定される。

この考え方は、解析接続と特異点の理論に基づいており、いくつかの部分で正しいが、補足説明が必要です。

回答:

1. 特異点 $P$ を周回する積分と留数

これは留数定理に関係する話であり、正しいです。留数定理によれば、正則関数の孤立特異点 $P$ を含む閉じた経路に沿った積分は、その特異点における留数に $2\pi i$ を掛けたものに等しくなります。

2. 解析接続による拡張

解析接続によって、関数が定義されている領域を広げることは可能ですが、無限遠点を含む全領域まで拡張できるかどうかは、特異点の性質に依存します。たとえば、関数が無限遠点で特異点を持つ場合、その解析接続は無限遠点では正則でないことがあります。したがって、「無限遠点も含む全領域に拡張される」という部分は、無限遠点での特異点の有無により異なるため、一概に正しいとは言えません。

3. 特異点 $P$ の性質

特異点 $P$ は、その周囲の関数の性質、特に正則性や留数に基づいて特徴づけられます。例えば、孤立特異点がある場合、それが可除特異点、極、または本質的特異点のいずれであるかによって、その性質が決まります。

結論:

質問の考え方はおおむね正しいですが、無限遠点での挙動や特異点の種類については注意が必要です。特異点 $P$ を除く領域で正則であっても、無限遠点や他の特異点の存在によって解析接続が制限される可能性があります。

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他に質問はありますか？以下の関連質問についても考えてみてください。

1. 留数定理を使って計算される特異点の留数は、関数のどの部分に影響を与えるか？
2. 本質的特異点と極の違いについて説明できますか？
3. 無限遠点を特異点として扱う場合、その扱い方は有限の特異点とどう異なるか？
4. 可除特異点をどのように正則にすることができるか？
5. 複素関数における解析接続の具体的な手法をいくつか挙げられますか？

Tip:

無限遠点を特異点として扱う際、リーマン球面を使って無限遠点を有限の点に対応させると便利です。