質問1について：

特異点 $P$ を除いて正則な関数が存在し、その特異点 $P$ を含む閉曲線上の周回積分（つまり、留数定理の適用）によって留数が得られる、という考え方は正しいです。留数定理は、その周の内側にある孤立特異点の周りで、周回積分が留数に比例することを述べています。また、解析接続というのは、関数をその定義域を超えて他の領域に「接続」する技法です。したがって、特異点 $P$ 以外の複素平面全体（無限遠点を含む）に関数が拡張される、というのも可能な考え方です。

ただし、特異点 $P$ の性質（例えば、可除特異点、極、または本質的特異点）によって、その振る舞いが異なることに注意が必要です。関数は、特異点 $P$ を除く領域で正則であれば、解析接続を通じて他の領域に拡張可能です。

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質問2について：

物理的な空間と複素平面を同一視しようとした場合の議論は、純粋に数学的な複素解析の枠組みとは異なる観点を含みます。複素解析においては、関数の解析接続や留数定理は、数学的な道具であり、物理的な制約（例えば光速の制限）は含まれていません。留数定理や解析接続は、複素平面上の純粋な数学的操作であり、物理的な因果律や光速度制限のような現実世界の物理法則に影響されません。

しかし、物理的空間における場の理論や因果律を考慮する場合、光速より速い影響の伝播は一般的には認められていません。したがって、数学的な解析接続や留数定理が、物理的な状況に直接的に適用されるかどうかは、文脈によります。複素解析は純粋に数学的なものであり、物理的な制約を考慮していませんが、物理的現象に複素解析が応用される場合は、別途その適用範囲や制約を考慮する必要があります。

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追加の質問や詳細について確認したいことがあれば、お知らせください。

追加の関連質問

1. 留数定理は特異点の種類によってどう適用が異なりますか？
2. 無限遠点も特異点とみなされる場合、どのように扱われますか？
3. 解析接続を用いた場合、どのように関数の領域が拡張されますか？
4. 特異点の種類（可除特異点、極、本質的特異点）の違いは何ですか？
5. 物理学において、解析接続や複素解析がどのように応用されるか具体的な例はありますか？

ワンポイントアドバイス

複素解析の手法は物理学においても広く応用されますが、数学的結果と物理的現象の対応には注意が必要です。