Упростим выражение:
$\log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \cdot \log_5 6 \cdot \log_6 7 \cdot \log_7 8 \cdot \log_8 9 \cdot \log_9 10$

Шаг 1: Свойство логарифмов

Используем формулу перехода между основаниями логарифма: $\log_a b = \frac{\log b}{\log a}.$

Каждое выражение $\log_a b$ можно записать как отношение логарифмов с одинаковым основанием (например, основание 10). Для первых двух множителей: $\log_2 3 = \frac{\log 3}{\log 2}, \quad \log_3 4 = \frac{\log 4}{\log 3}.$

После замены всех логарифмов, исходное произведение становится: $\frac{\log 3}{\log 2} \cdot \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 6}{\log 5} \cdot \frac{\log 7}{\log 6} \cdot \frac{\log 8}{\log 7} \cdot \frac{\log 9}{\log 8} \cdot \frac{\log 10}{\log 9}.$

Шаг 2: Упрощение

Произведение дробей упрощается, так как логарифмы в числителе и знаменателе "сокращаются": $\frac{\log 3}{\log 2} \cdot \frac{\log 4}{\log 3} \cdot \frac{\log 5}{\log 4} \cdot \frac{\log 6}{\log 5} \cdot \frac{\log 7}{\log 6} \cdot \frac{\log 8}{\log 7} \cdot \frac{\log 9}{\log 8} \cdot \frac{\log 10}{\log 9} = \frac{\log 10}{\log 2}.$

Шаг 3: Финальный ответ

По определению логарифма: $\frac{\log 10}{\log 2} = \log_2 10.$

Таким образом, упрощенное выражение: $\log_2 10.$

---

Хотите узнать больше?

1. Как использовать свойства логарифмов для упрощения сложных выражений?
2. Что такое смена основания логарифма?
3. Почему логарифмы можно "сокращать" в цепочке?
4. Как вычислить $\log_2 10$ численно?
5. Как применять логарифмы в реальных задачах, например, для вычислений в физике или программировании?

Совет: Запомните правило смены основания логарифма $\log_a b = \frac{\log b}{\log a}$, оно часто используется для упрощения.