Lassen Sie uns den gegebenen Ausdruck Schritt für Schritt umformen und vereinfachen:

Gegebener Term:

$\sqrt{a^4 \cdot b \cdot c^{-2}} + 3a^2 \cdot \sqrt{\frac{b}{c}}$

Schritt 1: Vereinfachung des ersten Teils

Der erste Teil des Ausdrucks ist $\sqrt{a^4 \cdot b \cdot c^{-2}}$. Wir können die Wurzeln und Potenzen separat behandeln.

$\sqrt{a^4 \cdot b \cdot c^{-2}} = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b} \cdot \sqrt{c^{-2}}$

Nun können wir die einzelnen Wurzeln vereinfachen:

• $\sqrt{a^4} = a^2$ (weil $a^4 = (a^2)^2$)
• $\sqrt{b} = b^{1/2}$
• $\sqrt{c^{-2}} = c^{-1}$ (weil $c^{-2} = (c^{-1})^2$)

Somit ergibt sich der erste Teil als: $a^2 \cdot b^{1/2} \cdot c^{-1}$

Schritt 2: Vereinfachung des zweiten Teils

Nun betrachten wir den zweiten Teil des Ausdrucks: $3a^2 \cdot \sqrt{\frac{b}{c}}$.

Wir können den Bruch in der Wurzel separat behandeln: $\sqrt{\frac{b}{c}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}$ Dies ergibt: $3a^2 \cdot \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}} = 3a^2 \cdot \frac{b^{1/2}}{c^{1/2}}$

Schritt 3: Gesamtexpression zusammenfassen

Nun kombinieren wir die beiden Teile des Ausdrucks:

$a^2 \cdot b^{1/2} \cdot c^{-1} + 3a^2 \cdot \frac{b^{1/2}}{c^{1/2}}$

Um dies weiter zu vereinfachen, könnten wir den ersten und zweiten Teil in eine gemeinsame Form bringen, wenn wir denselben Nenner (z. B. $c^{1/2}$) verwenden. Der gemeinsame Nenner für $c^{-1}$ und $c^{-1/2}$ ist $c^{1/2}$. Damit erhalten wir:

$a^2 \cdot b^{1/2} \cdot \frac{c^{1/2}}{c} + 3a^2 \cdot \frac{b^{1/2}}{c^{1/2}}$

Nun den ersten Term umschreiben:

$a^2 \cdot \frac{b^{1/2} \cdot c^{1/2}}{c} + 3a^2 \cdot \frac{b^{1/2}}{c^{1/2}}$

Die Gesamtexpression lautet jetzt:

$\frac{a^2 \cdot b^{1/2} \cdot c^{1/2}}{c} + \frac{3a^2 \cdot b^{1/2}}{c^{1/2}}$

Damit haben wir den Ausdruck in vereinfachter Form.

Möchten Sie weitere Details oder eine spezifische Umformung?

5 Vertiefungsfragen:

1. Was passiert, wenn wir den Ausdruck weiter faktorisieren wollen?
2. Wie würde der Ausdruck aussehen, wenn $b = 1$ und $c = 1$?
3. Kann dieser Ausdruck als Produkt dargestellt werden? Wenn ja, wie?
4. Was passiert, wenn wir den Exponenten von $a$ ändern?
5. Wie könnten wir den Ausdruck weiter vereinfachen, falls weitere Bedingungen gegeben sind?

Tipp: Beim Umformen von Wurzeln, achte darauf, dass du die Potenzen korrekt anwendest, insbesondere bei negativen Exponenten und Brüchen.