För att förenkla uttrycket

$\frac{2}{3x+9}+\frac{x}{x^2-9}-\frac{1}{2x-6},$

ska vi börja med att faktorisera alla nämnare och sedan hitta en gemensam nämnare.

Steg 1: Faktorisera nämnare

1. Faktoriserar första termen: $3x + 9 = 3(x + 3).$ Uttrycket blir: $\frac{2}{3(x+3)}.$

2. Faktoriserar andra termen: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).$ Uttrycket blir: $\frac{x}{(x-3)(x+3)}.$

3. Faktoriserar tredje termen: $2x - 6 = 2(x - 3).$ Uttrycket blir: $\frac{1}{2(x-3)}.$

Nu är uttrycket:

$\frac{2}{3(x+3)} + \frac{x}{(x-3)(x+3)} - \frac{1}{2(x-3)}.$

Steg 2: Hitta den gemensamma nämnaren

Den gemensamma nämnaren för dessa bråk är $6(x-3)(x+3)$.

Steg 3: Skriv om varje bråk med den gemensamma nämnaren

1. Första termen: $\frac{2}{3(x+3)} = \frac{2 \cdot 2(x-3)}{6(x-3)(x+3)} = \frac{4(x-3)}{6(x-3)(x+3)}.$

2. Andra termen: $\frac{x}{(x-3)(x+3)} = \frac{6x}{6(x-3)(x+3)}.$

3. Tredje termen: $\frac{1}{2(x-3)} = \frac{1 \cdot 3(x+3)}{6(x-3)(x+3)} = \frac{3(x+3)}{6(x-3)(x+3)}.$

Steg 4: Skriv om och förenkla

Nu är uttrycket:

$\frac{4(x-3) + 6x - 3(x+3)}{6(x-3)(x+3)}.$

Förenkla täljaren:

$4(x-3) + 6x - 3(x+3) = 4x - 12 + 6x - 3x - 9 = 7x - 21.$

Så det förenklade uttrycket är:

$\frac{7x - 21}{6(x-3)(x+3)}.$

Steg 5: Förenkla ytterligare (om möjligt)

Notera att $7x - 21 = 7(x - 3)$, så vi kan förenkla täljaren:

$\frac{7(x-3)}{6(x-3)(x+3)} = \frac{7}{6(x+3)} \quad \text{för } x \neq 3.$

Det förenklade uttrycket är:

$\boxed{\frac{7}{6(x+3)} \quad \text{för } x \neq 3.}$

Vill du ha mer detaljer om någon av stegen, eller har du några frågor?

Relativa frågor:

1. Hur hittar man en gemensam nämnare för bråk?
2. Varför är faktorisering viktigt när man förenklar algebraiska uttryck?
3. Hur kan man lösa ekvationer med rationella uttryck?
4. Vad innebär det när ett uttryck har en begränsning, som $x \neq 3$?
5. Hur kan man använda kvadreringsregler för att faktorisera uttryck?

Tips:

När du arbetar med rationella uttryck, kontrollera alltid om du kan faktorisera täljaren och nämnaren för att förenkla bråket.