Die Aufgabe besteht darin, den Ausdruck $\sqrt{\frac{a^2 + (ab)^2}{a}}$ zu vereinfachen.

1. Zunächst können wir den Ausdruck $(ab)^2$ vereinfachen zu $a^2b^2$.
2. Jetzt sieht der Nenner so aus: $\frac{a^2 + a^2b^2}{a}$.
3. Da beide Terme im Zähler $a^2$ enthalten, kann dies faktorisiert werden: $\frac{a^2(1 + b^2)}{a}$
4. Der Term $a^2$ im Zähler und $a$ im Nenner können gekürzt werden, so dass übrig bleibt: $a(1 + b^2)$
5. Da die Quadratwurzel auf den gesamten Ausdruck angewendet wird, ergibt sich: $\sqrt{a(1 + b^2)}$

Die korrekte Antwort ist also $\sqrt{a \cdot (1 + b^2)}$, was der vierten Option entspricht.

Möchten Sie mehr Details dazu erfahren oder haben Sie weitere Fragen? Hier sind einige Themen, die Sie interessieren könnten:

1. Warum kann $a^2$ aus beiden Termen im Zähler ausgeklammert werden?
2. Wie funktioniert das Kürzen von Termen in Brüchen?
3. Was ist die allgemeine Regel für das Vereinfachen von Wurzeln?
4. Wie beeinflussen verschiedene Werte von $a$ und $b$ das Ergebnis?
5. Was passiert, wenn $a$ oder $b$ negative Werte haben?

Tipp: Beim Vereinfachen von Ausdrücken ist es oft hilfreich, gemeinsame Faktoren in den Termen zu suchen und diese zu kürzen, bevor komplexere algebraische Schritte unternommen werden.