Math Problem Statement

montrer que (1-(racinede(x^2+1)))/x=-x/(1+(racinede(x^2+1)

Solution

Pour démontrer que l'expression suivante est vraie :

1x2+1x=x1+x2+1\frac{1 - \sqrt{x^2 + 1}}{x} = \frac{-x}{1 + \sqrt{x^2 + 1}}

nous allons commencer par manipuler l'expression de gauche pour voir si nous pouvons obtenir celle de droite. Voici les étapes de la démonstration :

Étape 1 : Expression de gauche

L'expression de gauche est :

1x2+1x\frac{1 - \sqrt{x^2 + 1}}{x}

Nous allons multiplier et diviser cette expression par le conjugué du numérateur 1+x2+11 + \sqrt{x^2 + 1}, afin de simplifier l'expression.

Étape 2 : Multiplication par le conjugué

On multiplie et divise par 1+x2+11 + \sqrt{x^2 + 1} :

1x2+1x1+x2+11+x2+1=(1x2+1)(1+x2+1)x(1+x2+1)\frac{1 - \sqrt{x^2 + 1}}{x} \cdot \frac{1 + \sqrt{x^2 + 1}}{1 + \sqrt{x^2 + 1}} = \frac{(1 - \sqrt{x^2 + 1})(1 + \sqrt{x^2 + 1})}{x(1 + \sqrt{x^2 + 1})}

Étape 3 : Simplification du numérateur

Le numérateur est une différence de carrés, ce qui donne :

(1x2+1)(1+x2+1)=12(x2+1)2=1(x2+1)=x2(1 - \sqrt{x^2 + 1})(1 + \sqrt{x^2 + 1}) = 1^2 - (\sqrt{x^2 + 1})^2 = 1 - (x^2 + 1) = -x^2

Ainsi, l'expression devient :

x2x(1+x2+1)\frac{-x^2}{x(1 + \sqrt{x^2 + 1})}

Étape 4 : Simplification de l'expression

Nous simplifions le terme xx dans le numérateur et le dénominateur :

x2x(1+x2+1)=x1+x2+1\frac{-x^2}{x(1 + \sqrt{x^2 + 1})} = \frac{-x}{1 + \sqrt{x^2 + 1}}

Cela correspond exactement à l'expression de droite.

Conclusion

Nous avons donc montré que :

1x2+1x=x1+x2+1\frac{1 - \sqrt{x^2 + 1}}{x} = \frac{-x}{1 + \sqrt{x^2 + 1}}

Si tu souhaites plus de détails ou si tu as d'autres questions, n'hésite pas à demander ! Voici quelques questions connexes pour approfondir le sujet :

  1. Pourquoi la multiplication par le conjugué simplifie-t-elle l'expression ?
  2. Comment vérifier si une identité trigonométrique est vraie de manière similaire ?
  3. Quelle est la différence entre une différence de carrés et une somme de carrés ?
  4. Comment manipuler des expressions similaires impliquant des racines carrées ?
  5. Peut-on utiliser cette technique pour démontrer des égalités impliquant des racines cubiques ?

Conseil : Toujours se rappeler que la multiplication par le conjugué permet de se débarrasser des racines carrées dans les numérateurs ou dénominateurs.

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Difference of squares formula: (a - b)(a + b) = a^2 - b^2

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