För att bestämma det kortaste avståndet mellan en punkt och en linje i rummet, behöver vi först få fram en parametrisering av linjen. Linjen ges här av två ekvationer, vilket innebär att vi har två plan och linjen är skärningen mellan dessa plan.

Vi börjar med att skriva om ekvationerna för planen:

1. $-8y - 3z + 22 = 0$
2. $-8x + 5z + 14 = 0$

För att parametrisera linjen, löser vi dessa ekvationer. Vi kan uttrycka $x$ och $y$ i termer av $z$, vilket ger oss en parameterframställning av linjen.

Steg 1: Lös för $x$ och $y$ i termer av $z$

Från första ekvationen:

$-8y - 3z + 22 = 0 \implies y = \frac{-3z + 22}{8}$

Från andra ekvationen:

$-8x + 5z + 14 = 0 \implies x = \frac{5z + 14}{8}$

Nu har vi parametrisering av linjen som:

$x(z) = \frac{5z + 14}{8}, \quad y(z) = \frac{-3z + 22}{8}, \quad z = z$

Så linjens parametrisering kan skrivas som:

$(x, y, z) = \left(\frac{5z + 14}{8}, \frac{-3z + 22}{8}, z\right)$

Steg 2: Hitta det kortaste avståndet mellan punkten och linjen

Avståndet mellan en punkt och en linje kan beräknas med hjälp av formeln för avståndet mellan en punkt och en linje i rummet. Linjen har en riktningsvektor, och vi kan använda kryssprodukten mellan denna riktningsvektor och vektorn från en punkt på linjen till den givna punkten för att få ett avstånd.

Bestäm riktningsvektorn för linjen

Riktningsvektorn $\mathbf{v}$ kan bestämmas genom att använda koefficienterna framför $z$ i parametriseringen:

$\mathbf{v} = \left(\frac{5}{8}, \frac{-3}{8}, 1\right)$

Vektor från punkten $P = (2, 0, 3)$ till en punkt på linjen $Q = \left(\frac{5z + 14}{8}, \frac{-3z + 22}{8}, z\right)$

Vektorn från punkten $P$ till punkten $Q$ på linjen blir:

$\mathbf{PQ} = \left(\frac{5z + 14}{8} - 2, \frac{-3z + 22}{8} - 0, z - 3\right)$

För att hitta det kortaste avståndet kan vi beräkna kryssprodukten mellan denna vektor och riktningsvektorn, och sedan dividera med längden på riktningsvektorn. Låt oss beräkna detta.

Steg 3: Beräkning

Jag ska nu utföra de exakta beräkningarna.Det kortaste avståndet mellan punkten $(2, 0, 3)$ och linjen som ges av ekvationerna är ungefär $2.27$ enheter.

Vill du ha fler detaljer om beräkningen eller en specifik del förklarad?

Här är fem följdfrågor för att bygga vidare på detta:

1. Hur kan vi hitta skärningspunkten mellan en linje och ett plan i rymden?
2. Hur påverkar linjens riktning beräkningen av avståndet?
3. Vad är skillnaden mellan en parametrisk och en kartesisk ekvation för en linje?
4. Kan avståndsberäkningar generaliseras till högre dimensioner? Om så, hur?
5. Hur påverkar planens ekvationer linjens riktning?

Tips: Kryssprodukten används ofta för att hitta vinkelräta vektorer, vilket gör den användbar för avståndsberäkningar mellan linjer och punkter.