Pro analýzu platnosti obou uvedených vztahů využijeme vlastnosti množinových operací. Probereme každý výraz a rozhodneme, zda platí vždy, nebo zda může někdy neplatit.

a) $[(Z \setminus Y) \cup X] \cup (Y \setminus Z) \subseteq [(Z \cup Y) \cap X] \cap (Y \setminus Z)$

Rozepíšeme si výrazy na obou stranách a zjistíme, zda tato inkluze platí vždy, nebo zda může být za určitých okolností nepravdivá.

Levá strana:

• $(Z \setminus Y) \cup X$: Prvky, které jsou buď v $Z$ a nejsou v $Y$, nebo které jsou v $X$.
• $[(Z \setminus Y) \cup X] \cup (Y \setminus Z)$: Prvky, které jsou buď v $(Z \setminus Y) \cup X$ nebo v $(Y \setminus Z)$.

Pravá strana:

• $(Z \cup Y) \cap X$: Prvky, které jsou současně v $(Z \cup Y)$ a v $X$.
• $[(Z \cup Y) \cap X] \cap (Y \setminus Z)$: Prvky, které jsou současně v $(Z \cup Y) \cap X$ a zároveň v $(Y \setminus Z)$.

Provedením podrobného zkoumání můžeme najít příklad, kdy tato inkluze neplatí. Například pokud zvolíme množiny $X$, $Y$, a $Z$ tak, aby jejich průniky a rozdíly nesplňovaly uvedený vztah (např. $X = \{1\}, Y = \{2\}, Z = \{3\}$), můžeme dojít k případu, kdy levá strana obsahuje prvky, které pravá strana neobsahuje.

Závěr: Tento vztah tedy neplatí vždy a může být za určitých okolností nepravdivý.

---

b) $(X \cap Y) \cap (Z \cup X) = (X \cup Y) \cap (Z \cap Y)$

Podívejme se na výrazy na obou stranách rovnosti a ověřme, zda jsou vždy shodné.

Levá strana:

• $(X \cap Y) \cap (Z \cup X)$: Prvky, které jsou současně v $X$ a $Y$ a zároveň v $(Z \cup X)$. Lze tedy říci, že se jedná o prvky, které jsou ve všech třech množinách najednou, případně v některých specifických kombinacích.

Pravá strana:

• $(X \cup Y) \cap (Z \cap Y)$: Prvky, které jsou buď v $X$ nebo v $Y$, ale zároveň také v $(Z \cap Y)$.

Prověřením této rovnosti zjistíme, že v některých případech, například když $X$, $Y$ a $Z$ mají různé průniky a sjednocení, rovnost neplatí.

Závěr: Tento vztah také neplatí vždy a může být za určitých okolností nepravdivý.

---

Shrnutí:

• a) Tento vztah někdy neplatí.
• b) Tento vztah také někdy neplatí.

Máte nějaké otázky k jednotlivým krokům nebo si přejete podrobnější vysvětlení?

---

Další související otázky:

1. Jak se liší rozdíl množin a průnik množin při operacích s více množinami?
2. Lze určit, kdy by zmíněné vztahy v a) a b) mohly platit za specifických podmínek?
3. Jak by se změnily výsledky, kdybychom použili pouze sjednocení místo průniku v daných výrazech?
4. Co by se stalo, kdyby jedna z množin $X$, $Y$ nebo $Z$ byla prázdná?
5. Jakým způsobem by se daly zjednodušit výrazy z a) a b) pomocí základních množinových zákonů?

Tip:

Při určování platnosti vztahů v množinovém kalkulu je užitečné používat Vennovy diagramy, které mohou vizuálně zobrazit všechny možné průniky a sjednocení.