Tehtävässä halutaan osoittaa, että kahdelle joukolle $A$ ja $B$ pätee:

$A \cup B = A \cup (B \setminus (A \cap B))$

Todistus:

Aloitetaan tarkastelemalla kumpaakin puolta erikseen.

1. Osoitetaan, että $A \cup B \subseteq A \cup (B \setminus (A \cap B))$:

Otetaan alkio $x$, joka kuuluu $A \cup B$. Tämä tarkoittaa, että $x$ kuuluu joko $A$:han tai $B$:hen (tai molempiin). Meillä on kaksi mahdollista tapausta:

• Jos $x \in A$, niin selvästi $x \in A \cup (B \setminus (A \cap B))$.
• Jos $x \notin A$ mutta $x \in B$, niin $x \in B$ ja koska $x \notin A$, myös $x \notin A \cap B$. Tällöin $x \in B \setminus (A \cap B)$, ja siksi $x \in A \cup (B \setminus (A \cap B))$.

Näin ollen, kaikille $x$ jotka kuuluvat $A \cup B$, pätee myös $x \in A \cup (B \setminus (A \cap B))$, eli $A \cup B \subseteq A \cup (B \setminus (A \cap B))$.

2. Osoitetaan, että $A \cup (B \setminus (A \cap B)) \subseteq A \cup B$:

Otetaan alkio $x$, joka kuuluu $A \cup (B \setminus (A \cap B))$. Tämä tarkoittaa, että $x$ kuuluu joko $A$:han tai $B \setminus (A \cap B)$:hen. Meillä on kaksi mahdollista tapausta:

• Jos $x \in A$, niin selvästi $x \in A \cup B$.
• Jos $x \in B \setminus (A \cap B)$, niin $x \in B$ ja $x \notin A \cap B$. Tämä tarkoittaa, että $x \in B$, joten $x \in A \cup B$.

Näin ollen, kaikille $x$ jotka kuuluvat $A \cup (B \setminus (A \cap B))$, pätee myös $x \in A \cup B$, eli $A \cup (B \setminus (A \cap B)) \subseteq A \cup B$.

3. Yhteenveto:

Koska olemme osoittaneet, että $A \cup B \subseteq A \cup (B \setminus (A \cap B))$ ja $A \cup (B \setminus (A \cap B)) \subseteq A \cup B$, voimme päätellä, että:

$A \cup B = A \cup (B \setminus (A \cap B))$

Todistus on valmis.

Haluatko lisätietoja tai onko sinulla kysymyksiä?

5 jatkokysymystä:

1. Miten voidaan todistaa muita joukko-opin identiteettejä?
2. Mikä merkitys on joukkojen yhdisteen ja erotuksen välillä?
3. Voisiko vastaavaa todistusta käyttää osoittamaan muita vastaavia identiteettejä?
4. Miten joukkojen keskinäinen leikkaus vaikuttaa yhdisteen muodostumiseen?
5. Voidaanko tätä todistusta soveltaa äärettömiin joukkoihin?

Vinkki: Joukko-opin perusidentiteettien todistaminen on hyödyllistä monien matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa, sillä ne muodostavat perustan monille myöhemmille käsitteille ja tuloksille.