Merkitään äärellisen joukon 𝑋 alkioiden määrää merkinnällä |𝑋|. Osoita, että 𝐴∪𝐵=𝐴∪(𝐵∖(𝐴∩𝐵))

Tehtävässä halutaan osoittaa, että kahdelle joukolle \( A \) ja \( B \) pätee:

\[
A \cup B = A \cup (B \setminus (A \cap B))
\]

### Todistus:

Aloitetaan tarkastelemalla kumpaakin puolta erikseen.

#### 1. Osoitetaan, että \( A \cup B \subseteq A \cup (B \setminus (A \cap B)) \):

Otetaan alkio \( x \), joka kuuluu \( A \cup B \). Tämä tarkoittaa, että \( x \) kuuluu joko \( A \):han tai \( B \):hen (tai molempiin). Meillä on kaksi mahdollista tapausta:

- Jos \( x \in A \), niin selvästi \( x \in A \cup (B \setminus (A \cap B)) \).
- Jos \( x \notin A \) mutta \( x \in B \), niin \( x \in B \) ja koska \( x \notin A \), myös \( x \notin A \cap B \). Tällöin \( x \in B \setminus (A \cap B) \), ja siksi \( x \in A \cup (B \setminus (A \cap B)) \).

Näin ollen, kaikille \( x \) jotka kuuluvat \( A \cup B \), pätee myös \( x \in A \cup (B \setminus (A \cap B)) \), eli \( A \cup B \subseteq A \cup (B \setminus (A \cap B)) \).

#### 2. Osoitetaan, että \( A \cup (B \setminus (A \cap B)) \subseteq A \cup B \):

Otetaan alkio \( x \), joka kuuluu \( A \cup (B \setminus (A \cap B)) \). Tämä tarkoittaa, että \( x \) kuuluu joko \( A \):han tai \( B \setminus (A \cap B) \):hen. Meillä on kaksi mahdollista tapausta:

- Jos \( x \in A \), niin selvästi \( x \in A \cup B \).
- Jos \( x \in B \setminus (A \cap B) \), niin \( x \in B \) ja \( x \notin A \cap B \). Tämä tarkoittaa, että \( x \in B \), joten \( x \in A \cup B \).

Näin ollen, kaikille \( x \) jotka kuuluvat \( A \cup (B \setminus (A \cap B)) \), pätee myös \( x \in A \cup B \), eli \( A \cup (B \setminus (A \cap B)) \subseteq A \cup B \).

#### 3. Yhteenveto:

Koska olemme osoittaneet, että \( A \cup B \subseteq A \cup (B \setminus (A \cap B)) \) ja \( A \cup (B \setminus (A \cap B)) \subseteq A \cup B \), voimme päätellä, että:

\[
A \cup B = A \cup (B \setminus (A \cap B))
\]

Todistus on valmis.

Haluatko lisätietoja tai onko sinulla kysymyksiä?

**5 jatkokysymystä:**
1. Miten voidaan todistaa muita joukko-opin identiteettejä?
2. Mikä merkitys on joukkojen yhdisteen ja erotuksen välillä?
3. Voisiko vastaavaa todistusta käyttää osoittamaan muita vastaavia identiteettejä?
4. Miten joukkojen keskinäinen leikkaus vaikuttaa yhdisteen muodostumiseen?
5. Voidaanko tätä todistusta soveltaa äärettömiin joukkoihin?

**Vinkki:** Joukko-opin perusidentiteettien todistaminen on hyödyllistä monien matemaattisten ongelmien ratkaisemisessa, sillä ne muodostavat perustan monille myöhemmille käsitteille ja tuloksille.

Explore the proof that the union of sets A and B equals the union of set A with the set difference of B and the intersection of A and B. This mathematical problem delves into set theory, demonstrating fundamental concepts and proofs.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation