Давайте решим задачу поэтапно, используя принцип включений и исключений.

1. Обозначения:

   • $A$ — студенты, изучающие английский язык.
   • $B$ — студенты, изучающие немецкий язык.
   • $C$ — студенты, изучающие китайский язык.

   Даны следующие данные:

   • $|A| = 37$ — всего студентов, изучающих английский.
   • $|B| = 28$ — всего студентов, изучающих немецкий.
   • $|C| = 11$ — всего студентов, изучающих китайский.
   • $|A \cap B| = 13$ — студентов, изучающих одновременно английский и немецкий.
   • $|B \cap C| = 8$ — студентов, изучающих одновременно немецкий и китайский.
   • $|A \cap C| = 10$ — студентов, изучающих одновременно английский и китайский.
   • $|A \cap B \cap C| = 7$ — студентов, изучающих все три языка.

2. Найдем количество студентов, изучающих только один язык:

   • Студенты, изучающие только английский: $|A_{\text{только}}| = |A| - |A \cap B| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C| = 37 - 13 - 10 + 7 = 21$

   • Студенты, изучающие только немецкий: $|B_{\text{только}}| = |B| - |A \cap B| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| = 28 - 13 - 8 + 7 = 14$

   • Студенты, изучающие только китайский: $|C_{\text{только}}| = |C| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| = 11 - 10 - 8 + 7 = 0$ Это означает, что все студенты, изучающие китайский, также изучают хотя бы один другой язык.

3. Найдем количество студентов, которые не изучают ни одного языка:

   • Общее количество студентов — 60. Мы можем найти количество студентов, изучающих хотя бы один язык, с помощью принципа включений-исключений: $|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |B \cap C| - |A \cap C| + |A \cap B \cap C|$ Подставим числа: $|A \cup B \cup C| = 37 + 28 + 11 - 13 - 8 - 10 + 7 = 52$ Студенты, не изучающие ни одного языка, составляют: $60 - 52 = 8$

Ответы:

• Студентов, изучающих только китайский: 0.
• Студентов, изучающих только немецкий: 14.
• Студентов, не изучающих ни одного языка: 8.

Если вам нужно больше деталей по решению, или есть другие вопросы, не стесняйтесь задавать их!

---

Рекомендуемые вопросы для дальнейшего изучения:

1. Как работает принцип включений и исключений в теории множеств?
2. Как посчитать пересечения множеств, если у нас есть больше пересечений?
3. Почему важно понимать, что все три языка могут быть изучены одновременно в задачах такого типа?
4. Как можно визуализировать такую задачу с помощью диаграмм Венна?
5. Как можно модифицировать эту задачу, чтобы все студенты изучали хотя бы один язык?

Совет: Когда работаете с пересечениями множеств, всегда тщательно проверяйте, не упустили ли вы студентов, которые входят в несколько множеств одновременно.