Si L2 = { n E Z / il existe un unique p E Z / np = 1 } alors que vaut L3 en extension L3 = P(L2), ensemble des parties de L2.

L'énoncé introduit \( L_2 \) comme un ensemble de nombres entiers \( n \in \mathbb{Z} \) pour lequel il existe un unique \( p \in \mathbb{Z} \) tel que \( np = 1 \). Cet ensemble \( L_2 \) correspond à l'ensemble des inverses multiplicatifs dans \( \mathbb{Z} \), ce qui est très limité, car dans l'ensemble des entiers, seuls \( 1 \) et \( -1 \) ont un inverse multiplicatif entier.

### Étape 1 : Déterminer \( L_2 \)
L'équation \( np = 1 \) est une équation diophantienne. Dans l'ensemble des entiers \( \mathbb{Z} \), les seules solutions possibles pour \( n \) et \( p \) sont \( n = 1 \) avec \( p = 1 \), et \( n = -1 \) avec \( p = -1 \), car ces deux valeurs sont les seuls entiers dont le produit avec un autre entier donne 1.

Ainsi, \( L_2 = \{ 1, -1 \} \).

### Étape 2 : Déterminer \( L_3 = \mathcal{P}(L_2) \)
L'ensemble \( L_3 \) est défini comme l'ensemble des parties de \( L_2 \), c'est-à-dire l'ensemble des sous-ensembles de \( L_2 \). Puisque \( L_2 \) contient deux éléments, ses sous-ensembles sont :

- L'ensemble vide \( \emptyset \),
- \( \{1\} \),
- \( \{-1\} \),
- \( \{1, -1\} \).

Par conséquent, \( L_3 = \mathcal{P}(L_2) = \{ \emptyset, \{1\}, \{-1\}, \{1, -1\} \} \).

### Résultat final :
\( L_3 = \{ \emptyset, \{1\}, \{-1\}, \{1, -1\} \} \).

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions connexes :
1. Quelles sont les propriétés des inverses multiplicatifs dans d'autres ensembles comme \( \mathbb{Q} \) ou \( \mathbb{R} \) ?
2. Comment généraliser l'idée des inverses multiplicatifs dans des anneaux ou des corps ?
3. Qu'est-ce que l'ensemble des parties d'un ensemble infini ?
4. Quelle est la relation entre les sous-ensembles et la cardinalité d'un ensemble ?
5. Comment utiliser la notion d'ensemble des parties dans des problèmes de combinatoire ?

**Tip** : L'ensemble des parties d'un ensemble \( A \) contenant \( n \) éléments possède exactement \( 2^n \) sous-ensembles.

Explore the solution to a set theory problem where L2 is defined as the set of integers with a unique multiplicative inverse. We calculate the power set L3, finding all subsets of L2, including the empty set, single-element sets, and the full set. This problem is suitable for Grades 11-12 students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation