Для исследования сходимости ряда

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^3 + 2}$

используем критерий сравнения. Оценим поведение членов ряда при больших $n$.

1. Асимптотическое поведение: Рассмотрим выражение в знаменателе $n^3 + 2$ при $n \to \infty$. Видно, что для больших $n$, выражение $n^3 + 2$ стремится к $n^3$. Таким образом, для больших $n$ член ряда ведет себя как

$\frac{n^2}{n^3 + 2} \sim \frac{n^2}{n^3} = \frac{1}{n}.$

2. Сравнение с рядом: Поскольку $\frac{n^2}{n^3 + 2} \sim \frac{1}{n}$, можно сравнить данный ряд с гармоническим рядом

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}.$

Этот ряд является расходящимся, так как гармонический ряд не сходится.

3. Применение критерия сравнения: Для подтверждения сходимости или расходимости, мы можем применить критерий сравнения. Рассмотрим, что для всех $n \geq 1$

$\frac{n^2}{n^3 + 2} < \frac{n^2}{n^3} = \frac{1}{n}.$

Поскольку гармонический ряд расходится, и каждый член нашего ряда меньше соответствующего члена гармонического ряда, ряд

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n^3 + 2}$

также расходится по критерию сравнения.

Ответ: Ряд расходится.

Если вам нужны более подробные шаги или дополнительные пояснения, пожалуйста, дайте знать!

Вот несколько вопросов, которые могут помочь глубже понять эту тему:

1. Почему гармонический ряд расходится?
2. Как работает критерий сравнения для сходимости рядов?
3. Какие еще методы проверки сходимости рядов существуют?
4. Что происходит, если числитель или знаменатель меняются, например, на $\frac{n^3}{n^4 + 1}$?
5. Как определить сходимость ряда с помощью теста на корни или на коэффициенты?

Совет: Если вы не уверены в методах сравнения, всегда полезно оценивать поведение членов ряда при больших значениях $n$, чтобы понять его сходство с известными расходящимися или сходящимися рядами.