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Certo! L'immagine contiene una serie di note che riguardano la convergenza delle serie numeriche, in particolare sembra trattare il **criterio del confronto** per le serie a termini non negativi. Ora procederò a spiegare i vari passaggi.

### Prima parte: Analisi del limite della serie

Nella prima parte dell'immagine si vede la notazione:

\[
\lim_{m \to \infty} S_m = S = \sup S_m \quad \forall m \in \mathbb{N}
\]

Questo indica il limite della somma parziale di una serie \(S_m\), e viene detto che questo limite tende a un valore \(S\), che rappresenta il **valore della serie** (se la serie converge).

### Serie da analizzare

Viene poi introdotta una nuova serie a termini non negativi:

\[
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{| \sin m |}{m(m+1)}
\]

Si vuole studiare la convergenza di questa serie. Viene suggerito di risolverla con il **criterio del confronto**.

### Criterio del confronto

Il **criterio del confronto** per le serie a termini non negativi dice che se abbiamo due serie con termini \(a_m\) e \(b_m\) e sappiamo che esiste un valore \(l\) tale che:

\[
b_m \leq a_m \leq c_m
\]

allora, se:

1. \(b_m\) tende a zero e anche \(a_m\) e \(c_m\) tendono a zero (quando \(m \to \infty\)),
2. \(c_m \to 0\), e
3. se una delle serie converge o diverge, la stessa cosa accade per l'altra serie.

Questo criterio è utile per confrontare serie con termini complessi con serie più semplici di cui si conosce già il comportamento (convergenza o divergenza).

### Criterio del confronto applicato alla serie

La serie da studiare è:

\[
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{| \sin m |}{m(m+1)}
\]

Sappiamo che:

\[
|\sin m| \leq 1
\]

Quindi possiamo usare questa disuguaglianza per confrontare la serie con un'altra serie più semplice:

\[
\frac{|\sin m|}{m(m+1)} \leq \frac{1}{m(m+1)}
\]

A questo punto, si può utilizzare il **criterio del confronto** con la serie:

\[
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m(m+1)}
\]

Questa serie può essere riscritta come:

\[
\frac{1}{m(m+1)} = \frac{1}{m} - \frac{1}{m+1}
\]

Il che rappresenta una **serie telescopica**, e sappiamo che questa serie **converge**.

### Conclusione

Grazie al **criterio del confronto**, possiamo concludere che anche la serie originale:

\[
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{| \sin m |}{m(m+1)}
\]

**converge**.

### Riassunto dei punti principali:

1. Si utilizza il **criterio del confronto** per analizzare la convergenza di serie.
2. La serie di interesse è:

\[
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{| \sin m |}{m(m+1)}
\]

3. Si confronta con la serie più semplice:

\[
\sum_{m=1}^{\infty} \frac{1}{m(m+1)}
\]

4. Questa serie è telescopica e converge.
5. Quindi, per il criterio del confronto, anche la serie originale converge.

Hai domande o vuoi approfondire qualche passaggio?

---

Domande relative:
1. Cos'è una serie telescopica e perché è utile?
2. Come si dimostra il criterio del confronto?
3. Esistono altri criteri per determinare la convergenza di una serie?
4. Cosa succede se la serie divergente viene confrontata con una serie che tende a zero più lentamente?
5. Quali sono altri esempi di serie che possono essere studiate con il criterio del confronto?

**Tip**: Quando studi le serie, è spesso utile ricordare le principali serie note (come la serie geometrica o armonica) per applicare il criterio del confronto rapidamente.

Learn how to analyze the convergence of series using the Comparison Test, with an example focusing on the series ∑_{m=1}^{∞} |sin(m)| / [m(m+1)]. This solution walks through the criteria needed for applying the test and demonstrates the use of a telescoping series for simpler comparison.

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