Math Problem Statement
докажите, что это бесконечно малая величина
Докажите, что последовательность a_n = (n+1)/(n^2+1) является бесконечно малой величиной.
Solution
Функция является бесконечно малой величиной, если её предел при равен нулю:
1. Делим числитель и знаменатель на :
= \frac{\frac{1}{n} + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}}.$$ ### 2. Найдём предел: Так как $$\frac{1}{n} \to 0$$ и $$\frac{1}{n^2} \to 0$$ при $$n \to \infty$$, то $$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n^2+1} = \frac{0+0}{1+0} = 0.$$ ### 3. Вывод: Так как $$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$$, последовательность $$a_n$$ является **бесконечно малой величиной**. --- Хотите разбор с графиком или числовым примером? Вот 5 связанных вопросов, которые могут вас заинтересовать: 1. Что такое бесконечно малая последовательность? 2. Можно ли доказать малость $$a_n$$ с помощью критерия Коши? 3. Как быстро убывает данная последовательность? 4. Как связаны бесконечно малые и бесконечно большие величины? 5. Что такое эквивалентность бесконечно малых функций? **Совет:** При доказательстве пределов полезно делить все члены на старшую степень переменной.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Limits
Infinite Sequences
Asymptotic Analysis
Formulas
a_n = (n+1)/(n^2+1)
lim (n -> ∞) f(n) = L
(1/n) → 0 as n → ∞
Theorems
Limit Definition of Infinitesimal Sequence
Suitable Grade Level
Grades 11-12